偏导数在经济分析中的应用.ppt

第六节 偏导数在经济分析中的应用 边际与偏弹性 最值在经济中的应用 一、边际与偏弹性 在一元函数微分学中，我们引入了边际与弹性的概念， 这些概念可以推广到多元函数微分学中． 表示 z = f ( x, y) 在点 对 x 的边际. 其含义为: 在点 处, 当 y 保持不变, 而x 改变一个单位时, z = f ( x, y) 近似改变 个单位. 表示 z = f ( x, y) 在点 对 y 的边际. 1. 边际 其含义为: 在点 处, 当 x 保持不变, 而y 改变一个单位时, z = f ( x, y) 近似改变 个单位. z = f ( x, y) 对 x 的边际函数 z = f ( x, y) 对 y 的边际函数 本节以生产函数为例来说明边际与偏弹性的概念. 　生产函数指的是一定的投入品组合与之所能生产的最大产量Ｑ之间的关系． 　设投入品：劳动Ｌ和资本Ｋ，则生产函数可以用二元函数表示为 一种投入的边际(物质)产量(marginal physical product)是在其它投入固定不变时，多使用一单位这种投入的额外产量. 用数学公式表示，有 资本的边际产量 投入要素的边际产量 劳动的边际产量 例如, 消费者行为: 效用与边际效用 效用函数 其中u为效用量, qx为对物品x 的消费量, qy为对物品y 的消费量. 表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总效用的增加量. 表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总效用的增加量. 边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边际效用却是递减的趋势. 2. 弹性 考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比: 当 时, 称为z = f ( x, y) 在点 处对 x 的弹性函数. 记为 . 即 同样, z = f ( x, y) 在点 处对 x 的弹性函数: 其含义为: 在点 处, 当 y 保持不变, 而x 改变1%时, z = f ( x, y) 近似改变 . 其含义为: 在点 处, 当 x 保持不变, 而y 改变1%时, z = f ( x, y) 近似改变 . 产出关于投入要素的偏弹性 产出关于投入要素的偏弹性是产出关于某个投入要素的相对变化率. 产出关于资本的偏弹性 设生产函数 可偏导且 产出关于劳动的偏弹性 设生产函数 求劳动投入的边际产量； 求产出关于劳动投入的偏弹性； 证明：若 ，劳动投入的边际产量单调减少. （注：这个函数称为柯布－道格拉斯(Cobb-Douglas)函数） 解　(1) 劳动投入的边际产量为 (2) 在生产函数 两端取自然对数，得 于是，劳动投入的边际产量单调减少. 则产出关于劳动投入的偏弹性为 (3) 由 得 设生产函数 其中Q是产出量,Ｌ是劳动 Q = 1 时, Ｋ关于 L 的弹性. 投入量, Ｋ是投入量, 而 均为大于零的常数, 求当 我们以利润最大与约束成本最小为例来说明多元函数 的无条件极值和条件极值在经济学中的应用. １. 利润最大 为投入要素， 产量和投入要素的价格分别为 , 则利润函数为 的值, 使利润函数取最大值. 若厂商的目标是利润最大化, 则厂商应选择投入要素 二、最值在经济分析中的应用 则这是一个无约束的极值问题，利润最大化的条件是： 上式可写为 其中 ,表示投入要素 的边际产量. 在经济学中，产出的价格 p 与第 i 种投入要素的边际 产量的乘积称为第 i 种投入要素的边际产品价值, 记为 . 于是，利润最大化的必要条件也可表示为 上式的经济意义是: 当利润达到最大时,每一投入要素的 边际产品价值等于该投入要素的价格. 上式的经济意义是: 当利润达到最大时, 两种投入要素的 边际产出之比等于投入要素的价格之比. 利润极大化的二阶充分条件为 由于 二阶充分条件可简化为 解 利润函数为 其中产品价格为 p = 2 ，劳动投入的价格为 w = 4, 资本 投入的价格为 r =3, 在劳动与资本投入严格大于零的条件 下, 求使利润取得最大时的投入水平和最大利润． 设生产函数为 其定义域为开区域 由利润最大化的一阶必要条件，有 故驻点(8, 16)是利润函