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出院病人人均医药费用AR(n)岭估计模型和预测应用 　　【摘要】针对中国2007～2011年出院病人人均医药费用逐年增长的趋势，通过添加阻尼因子，使经典的时间序列AR（n）模型的最小二乘模型变为AR（n）岭估计模型，利用AR（n）岭估计模型，可以较好的改善经典时间序列分析模型中矩阵的病态程度。依据不同阻尼因子取值，预测了2013年全国综合医院出院病人人均医药费用。 【关键词】统计分析 出院病人人均医药费用 AR（n）模型 岭估计 一、引言 近几年来，医院出院病人的人均医药费用在逐年递增。根据《中国卫生统计年鉴2012》[1]一书披露的数据，2011年，全国综合医院出院病人人均医药费用为7027.7元（人民币），较2007年的4973.8元，增幅达到了41.29%。根据社会经济发展规律、医疗条件等因素可以认为，出院病人人均医药费用是一种随时间而变化的统计数据。时间序列AR（n）模型在考虑统计数据在时间序列上的依存性的同时，又考虑了随机波动的干扰性，是广泛应用的方法之一[2-5]。故可考虑采用AR（n）模型来预测未来的全国综合医院出院病人人均医药费用。 直接采用经典AR（n）模型，模型的病态性会影响分析和预测的结果。如何有效避免AR（n）模型的病态性，是需要解决的问题。基于此，本文结合解决矩阵病态问题的经典岭估计方法，建立起AR（n）的岭估计模型，并以时间序列AR（3）模型为例，对中国2007～2011年出院病人人均医药费用进行了分析，预测了2013年全国综合医院出院病人人均医药的大概费用。 二、AR（n）的岭估计模型 时间序列分析的特点在于[6-7]：逐次的统计数据通常是不独立的，必须考虑到统计资料的时间顺序，当逐次统计值相关时，未来数值可以由过去统计资料来预测，可以利用统计数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特征。 对于AR（n）模型，有[1]： xt=b1xt-1+b2xt-2+…+bnxt-n+at （1） 若共有x1，x2，…xN等个统计数据，则有： Y=Xb+a （2） 式中： X=■，b=■，Y=■， a=■ （3） 则b的最小二乘解为： b=（XTX）-1XTY （4） 一般地，矩阵XTX中的元素是由数值较接近的数据组成，数值彼此很接近，X的列存在复共线性，式（4）易成为病态方程组，导致b的数值解不稳定。 式（4）中，XTX的求逆运算是导致AR（n）模型产生病态的原因。一般可采用岭估计方法来消除矩阵的病态，通过在XTX矩阵中增加一个阻尼因子α来改善矩阵的病态程度。 对XTX添加一个阻尼因子α，使其变为XTX+αI，这样，（4）式变为： b=（XTX+αI）-1XTY （5） （5）式即为时间序列AR（n）的岭估计模型。显然，当阻尼因子α=0时，式（4）与式（5）等价。 三、全国综合医院出院病人人均医药费用分析 《中国卫生统计年鉴2012》在表4-5-4中，公布了全国综合医院出院病人人均医药费用统计数据，医院合计的部分数据见表1，现采用一般AR（3）模型进行统计数据的时间序列分析。 表1 综合医院出院病人人均医药费用（摘自《中国卫生统计年鉴2012》表4-5-4） 从2007年至2011年，出院病人人均医药费这一项，2008较2007的增幅为9.85%；2009较2008的增幅为8.93%；2010较2009的增幅为9.64%；2011较2010的增幅为7.69%。取2008至2011年的平均年增幅为（9.85%+8.93%+9.64%+7.69%）/4=9.0275%，则根据2008至2011年的平均年增幅9.0275%，计算得2012年医院合计级别的出院病人人均医药费为7662.1元。 现采用经典AR（3）模型，对出院病人人均医药费统计数据进行分析。由第二节式（3）： X=■，Y=■，则： X■X=■，X■X的行列式值为520860476017855，为非奇异矩阵。X■X的条件数为761172.94，根据条件数大小判别矩阵是否病态的一般条件，当矩阵条件数大于1000时为严重病态，可知矩阵X■X严重病态。根据式（4）求出的b=[-2.8909，2.4954，1.2215]，根据式（1）求得x1=6525.7，x2=7027.8，x3=7662.2。 现采用AR（3）岭估计模型即式（5）对综合医院出院病人人均医药费用进行分析。 表2 AR（3）岭估计模型计算结果 由表2知，阻尼因子的增加，极大程度的改善了矩阵X■X的病态程度。其计算结果与没有改善之前的结果也较接近。不同的是，没有改善的病态矩阵的求逆运算会不稳定，导致式（