信号分析与处理课件作者杨西侠柯晶2-2周期.ppt

2.2 周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数 2.2.1 正交函数 1、正交矢量 2.2.3 典型周期信号的傅里叶级数 2.2.4 吉布斯现象 cn n?1 0 ?1 2?/? 4?/? x(t) E t 0 T1 ? x(t) t 0 T1 2?/? cn n?1 0 ?1 x(t) E t 0 T1 cn n?1 0 ?1 2?/? 具体参数如 E=1， ? = 0.05，T1 = 0.25 ?1 = 2?/T1 = 8? 2?/? = 40? = 5?1 cn n?1 0 ?1 5?1 ?n n?1 0 ?1 5?1 ?? 2. 对称方波 ①是一个正负交替的信号，其直流分量a0 = 0； ②脉宽等于周期的一半，即? =T1/2； ③偶函数，又是奇谐函数，bn = 0，an = 0(偶数)。 x(t) t 0 T1 ?T1 T1 4 E 2 an n?1 0 ?1 2?1 3?1 4?1 5?1 3. 周期锯齿脉冲信号 奇函数 a0 = 0，an = 0 x(t) t 0 T1 2 T1 2 E 2 4. 周期三角脉冲信号 偶函数，去直流分量后是奇谐函数， bn = 0 x(t) t ? T1/2 0 T1/2 E 5. 周期半波余弦信号 偶函数，bn = 0 x(t) t 0 T1 4 T1 4 T1 6. 周期全波余弦信号 令余弦信号 x1(t) = cos?0t 全波余弦信号 x(t) = E | x1(t)| ?1= 2?/T1 = 2?0 T1 = T0 /2 偶函数，bn = 0 x(t) t 0 T1 2 T1 2 T1 任意周期信号的傅里叶级数需要无穷多项才能完全逼近。但实际中经常采用有限项来近似代替无限多项，当项数取得愈多，误差愈小，通常以均方误差来衡量其大小。 取前 N + 1 项 误差函数 ?N(t) = x (t) ? xN(t) 均方误差 尚辅网 / 垂直投影 x y 斜投影 x x y y 当? =90?，称x与y相互垂直的矢量为正交矢量。 将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维的“正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来表示。 可推广应用于n维信号矢量空间。 ? v 2．正交函数 假定，要在区间[t1，t2]内用函数x2(t)近似表示x1(t) x1(t) ? c12x2 t) 这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已经得到了最好的近似。均方误差定义为 上式表示x1(t)有x2(t)的分量，此分量的系数是c12。如果c12等于零，则x1(t)不包含x2(t)的分量，这种情况称为：x1(t)与x2(t)在区间 [ t1，t2 ]内正交。得出两函数在区间[ t1，t2 ]内正交的条件是 【例2-2】 试用正弦函数sint在区间 [ 0，2? ] 内来近似表示余弦函数cost。 解：显然，由于 cost与sint两函数正交。 【例2-3】设矩形脉冲x (t)有如下定义 波形如图，试用正弦波sint在区间 [ 0，2? ]内近似表示此函数，使均方误差最小。 解：函数x(t)在区间 [ 0，2? ]内近似为 x(t) = c12 sin t 为使均方误差最小，c12应满足 3. 正交函数集 定义：假设有n个函数g1(t)，g2(t)，…，gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间[ t1，t2 ]内满足如下的正交特性 其中ki为常数，则函数序列g1(t), g2(t), g3(t), …, gn(t)是[t1，t2]区间上的正交函数集。 三角函数序列cos?1t , cos2?1t , cos3?1t , …, cosn?1t , …， sin?1t , sin2?1t , sin3?1t ,…, sinn?1t , … 为区间[0, 2?/?1]上的正交函数集。 令任一函数x(t)在区间[ t1，t2 ]内由这n个互相正交的函数线性组合所近似，表示式为 x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + … + cn gn(t) 为满足最佳近似的要求，可利用均方误差最小的条件求系数c1，c2，…，cn