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圆锥曲线中最值问题解题策略 　　摘 要：圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。 关键词：圆锥曲线； 最值问题 中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）03-018-002 圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。下面例析与圆锥曲线有关的最值问题。 一、构造函数法 例1：（2013模拟试题）已知椭圆C：■+■=1（ab0），F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有■=λ■（其中λ为实数）。 （1）求椭圆C的离心率e； （2）过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F1MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程。 解析：本题（1）问中，根据△F1PF2重心、内心满足■=λ■，即与G、I的纵坐标相同，从而可以求出内切圆半径，通过求△F1PF2的面积可以得到一个a与c的关系式，求出离心率e；第（2）问给出△F1MN面积的最大值，应构造△F1MN面积关于直线l斜率倒数m的函数关系式，通过求函数的最大值，求出椭圆的方程。 解：（1）设P（x0，y0），焦点F1（-c，0）、F2（c，0） ∴重心为G（■，■），又∵■=λ■，所以内心I的纵坐标为■ ∴S△F1PF2=■|F1F2|·|y0|=■（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|■| ∴2c·3=2a+2c，∴e=■=■ （2）由（1）可设椭圆C的方程为：■+■=1（c0），直线l方程为：x=my+c 且直线l与椭圆C的交点M（x1，y1），N（x2，y2） 由■+■=1x=my+c得：（4+3m）y2+6mcy-9c2=0 ∴y1+y2=-■，y1y2=-■ ∴S△F1MN =|F1F2|·|y1-y2|=c■=12c2■ 令m2+1=t，则有t≥1且m2=t-1 ∴■=g（t）=■=■=■ 易知g（t）在[1，+∞）单调递减，∴g（t）max=g（1）=■ ∴S△F1MN 的最大值为12c2·■=3c2 ∵△F1MN面积的最大值为3 ∴c2=1 ∴椭圆C的方程为■+■=1 点评：圆锥曲线中的有些最值问题，可以把所求最值问题转化为函数的最值问题，通过解决某些函数（比如二次函数、反比例函数、双勾函数等）的最值问题得到所求结果。 二、不等式法 例2：（2012浙江五校改编）设椭圆■+■=1（ab0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且 ■+■=0。 （1）试求椭圆的方程； （2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DEMN面积的最大值和最小值。 解析：本题（1）问中，根据■+■=■得到F2为AF1的中点，从而求出a；第（2）问四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|，所以分别求出弦长|DE|、|MN|，并表示出面积关于斜率k的函数关系式，通过构造函数，利用基本不等式，函数自变量的取值范围及函数的单调性，求出面积的最大值和最小值。需要注意的是直线DE、MN斜率不存在时要单独考虑。 解：（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0） ∵■+■=■ ∴F2为AF1的中点，∴a2=3，b2=2 即椭圆方程为■+■=1 （2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=■=■，此时|MN|=2a=2■，四边形DEMN的面积 S=■|DE|·|MN|=4。同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|=4。 当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE所在直线方程为：y=k（x+1），D（x1，y1），E（x2，y2），由■+■=1y=k（x+1）得 （2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0 ∴x1+x2=-■，x1x2=■ ∴|DE|=■|x1-x2|=■=■ 将上式的k代换成-■可得 |MN|=■=■ ∴四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|=■·■·■=■令t=k2+■， 得S=■=4-■ ∵t=k2+■≥2，且在[2，+∞）上单调递增，∴当t=2时S取得最小