信号与系统课件作者王玲花8章节线性系统的状态空间分析法.ppt

结 论 系统的能控性取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵B。然而A是由系统的结构和内部参数决定的，B是与控制作用的施加点有关，因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。注意：对于单输入系统，该状态方程中的矩阵B退化为列向量b。 2. 直接从矩阵A与B判定系统的能控性 （1）对于线性定常连续单输入系统 其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵 满秩，即rankM = n。否则，当rankM ＜ n时，系统是不能控制的； （2）对于线性定常连续多输入系统 其能控的充分必要条件是由A、B构成的能控性矩阵 的秩为n。 ！ （2） 对于多输入系统，在计算行数比列数少的矩阵秩时，常用rankM =rank（MMT）的关系来确定的M秩。 （1） 对于单输入系统，确定系统完全能控性的充要条件还可根据A、b值，由输入u和状态向量x间的传递函数 来确定。其能控性的充要条件为Wux (s) 没有零点和极点重合现象。否则，被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。 例 解 （1） （2） （1）该系统是单输入系统，根据相应判据： 是奇异矩阵，其秩为rankM＜2，不满秩。故系统具有能控性。 （2）该系统是多输入系统，根据相应判据，计算 由于M的秩不好判定，可计算： rank（MMT ）=3，满秩。故系统是能控的。 例 解 M是一个三角阵，斜对角线元素均为1，不论a1、a2取何值，rank（M）=3，该系统总是能控的。 8.4.2 能观性判据 根据能观性定义知，它与输入没有直接关系而只与状态变量有关，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 1. 从约旦标准型判定系统的能观性 （1）当A为对角矩阵时 由已知的y确定状态变量的初始值xi (0) 的条件，即系统能观性的条件是输出矩阵C中没有全为0的列。若第i列为0，则与之相应的x (t)为不能观的，如第二列的所有元素都为0，则在y（t）中将不包含 这个自由分量，也即不包含x2 (t) 这个状态变量，x2 (t) 是不能观的状态。 （2）当A可变换为对角矩阵时 当A特征值互异时，可通过变换阵T进行非奇异变换，使A对角化，即 。令 , 则有： 设CP=H，则 由于xi (0) 与zi (0) 相对应，故系统能观性的条件是输出矩阵H中没有全为0的列。 （3）当A可变换为约旦型矩阵时 当A含有相同特征值时，可通过变换阵T进行非奇异变换，使A化为约旦标准型，以三阶约旦矩阵为例，即： 令 只要H中第一列元素不全为0，则y中总包含着系统全部初始分量而使系统具有能观性。 例 试由y确定状态向量x。 解 计算A的特征根为： λ1=-1， λ2=-1 当t=t1时， 当t=t2时， 输出y（t）是可测量的，由以上两式可解出x1 (0) 和x2 (0) ，再由 解出xi (t) ，因此系统是能观的。 2．直接从A、C判定系统的能观性 如果系统完全能观测，在t∈[ 0，tf ] 时段内，测量到输出y（t）就可由上式唯一地确定。即系统完全能观的充要条件是矩阵： 的秩为n，即rankS =n 例 试判断下列系统的能观性： （1） （2） 解 根据判据2得： rankS =2，满秩，该系统能观 （1） （2） 为奇异矩阵，rankS ＜2，不满秩，该系统不具能观性。 8.4.3 对偶原理 设有两个系统，分别为 若满足A2=A1T，B2=C1T，C2=B1T，则称∑1 与∑2 是互为对偶的。 定义： 如果系统∑2是能控的，那么矩阵 的秩应为满秩n。将对偶关系代入M2阵有： 这说明系统∑1的能观性判别矩阵S 1的秩也为满秩n，故∑1具有能观性。 同理，有 即如果系统∑2的能观性判别矩阵S 1T的秩为满秩n时，那么系统∑1的能观性判别矩阵M1也为满秩n，故系统∑1具有能控性。 对偶定理可表述为：对于对偶的两个系统∑1与∑2 ，若系统∑1是能控的（能观的），则系统∑2就是能观的（能控的）。当∑1可用能控（能观）标准型表达时， 则∑2必对应为能观（能控）标准型。 C1 + B1 A1 1/s B2=C1T + A2=A1T 1/s C2=B1T 对偶系统 （1）对偶系统的传递矩阵也是互为转置的。 （2）互为对偶的系统，它们的特征方程相同。 结论 8.5 离散系统状态方程的建立 线性离散系统的状态方程可以利用差分方程建立，也可以利用线性连续状态方程的离散化得到。