应用数学课件作者方鸿珠蔡承文1.4无穷小量与无穷大量.ppt

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2017-11-14 发布于广东
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应用数学课件作者方鸿珠蔡承文1.4无穷小量与无穷大量.ppt

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一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系尚辅网 / 一、无穷小量三、无穷大与无穷小的关系第4节无穷小与无穷大二、无穷大量下一页上一页返回引言：在前面的内容中碰到许多极限为零（或为无穷）的函数，表观上看似乎差异不大，但它们的自变量的趋向、函数值的变化速度、同一函数在各处的趋近情况等都不相同，且有着本质的区别. 下一页上一页返回 1.无穷小量的定义例如　　若函数 y=f(x) 在 x 的某种趋向下以零为极限，则称函数 f(x) 为 x 的这种趋向下的无穷小量，简称无穷小. 下一页上一页返回应该指出: 　２)无穷小是变量,不能与很小的常数混淆; ３)零是无穷小中唯一的常数，其他非零常数都不是；１)无穷小是绝对值无限变小以至于为0的变量（函数或数列）; ４)说函数为无穷小不能撇开自变量的趋向. 下一页上一页返回例1 解下一页上一页返回性质1 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小．性质2 有限个无穷小的乘积仍然是无穷小．性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．性质4 常数与无穷小的乘积是无穷小． 2.无穷小的性质下一页上一页返回例２解因为，所以x 是时的无穷小量．而，所以是有界函数．根据无穷小量的性质3，可知下一页上一页返回无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. 练习注意下一页上一页返回３.无穷小与函数极限的关系　　　若函数 f(x) 在 x 的某种趋向下有极限A的充要条件：f(x)-A是一个无穷小. 定理1 即下一页上一页返回证明必要性：充分性：下一页上一页返回观察各极限（1）（2）４、无穷小量的比较下一页上一页返回极限不同,反映了趋向于零的“快慢”速度不同，两个无穷小比的极限可用阶来描述. 不可比. （4）（5）（3）下一页上一页返回定义　设 ? 和 b 为 x → x0 (或 x → ?) 时的无穷小量，若则称当 x → x0 (或 x → ?)时，? 是 b 的高阶无穷小量，或称 b 是 ? 的低阶无穷小量，记为? = o (b ). 若若 A = 1，则称? 和b为等价无穷小量，记为? ~ b ( x → x0 或 x → ?时) . 则称?和b为同阶无穷小量. 下一页上一页返回在 x → 0 时，常用的等价无穷小量有: sin x ~ x ， tan x ~ x ， ln(1 + x) ~ x , 下一页上一页返回 1）两无穷小的比反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2）高阶无穷小的表示中要准确反映出要比较的无穷小量. 注意如可写为下一页上一页返回 5、等价无穷小量的替换定理 2 设? ~ ?1，b ~ b1，且存在 (或无穷大量)，则也存在 (或无穷大量) ，并且下一页上一页返回证由定理条件知因此有下一页上一页返回例 3 解因为 x →0 时， ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x，所以下一页上一页返回例 4 解下一页上一页返回若直接用 x 代替 tanx 及 sinx，则　虽然 tanx ? x，sinx ? x ，但 tanx - sinx ? 0 不成立，因此，用0代替 tanx – sinx 是错误的. 是错误的. 下一页上一页返回在极限运算中，恰当地使用等价无穷小量的代换，能起到简化运算的作用，但在除法中使用时应特别注意，只能是对分子或分母的乘积因子整体代换，不能对非因子的项代换．强调指出下一页上一页返回练习解下一页上一页返回下一页上一页返回绝对值无限增大的变量称为无穷大. 下一页上一页返回　　若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.