应用数学课件作者方鸿珠蔡承文3-1不定积分的概念与性质.pptVIP

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2017-11-14 发布于广东
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应用数学课件作者方鸿珠蔡承文3-1不定积分的概念与性质.ppt

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尚辅网 / 第3章?不定积分与定积分一元函数积分学主要包括不定积分和定积分．一元函数微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数．本章研究与之相反的一个问题：已知一个函数的导数，求原函数．定积分的本质是表示某种和式的极限。微积分基本公式把微分与积分联系在一起，奠定了一元函数微积分．下一页上一页返回一、原函数与不定积分二、不定积分的性质第1节不定积分的概念与性质下一页上一页返回一、原函数与不定积分定义设函数 y = f (x) 在某区间 I 上有定义，如果存在函数 F (x)，对于任一点 x ∈ I ，使得 F ?(x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在区间 I 上的一个原函数. 例如，因为在区间 (? ?, ? ?) 内有(x2)? = 2x， (sin x)? = cos x, 所以 x2, sinx分别是 2x, cosx在区间 (? ?, ? ?) 内一个原函数. 下一页上一页返回提问： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一，它们之间有什么联系？例如，( x2 )? = 2x，( x2 –1 )? = 2x， ( x2 +2 )? = 2x，……，( x2+C )? = 2x. 一般地，若F ?(x)= f (x)，则(F (x)+C )? = f (x). 即：(1) 若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则F (x)+C表示 f (x)的全体原函数. (2) 若 F (x) 、 G(x)是 f (x) 的任意两个原函数，则F (x) – G(x) =C（C为任意常数）. 下一页上一页返回　　定义若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C ( C为任意常数) 称为 f (x) 在该区间上的不定积分，记为，即被积函数积分变量被积分式积分常数积分号下一页上一页返回定义通常把f (x)的一个原函数F (x)的图形y = F (x)叫做函数f (x)的一条积分曲线，而不定积分表示积分曲线族 y =F (x)+C . x y O y = F (x) y = F (x)+C 下一页上一页返回积分曲线族 y = F (x) + C 的特点： (1) 积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条沿 y 轴平移若干个单位而得到. (2) 由于 [F (x) + C]?= F ? (x) = f (x)，即横坐标相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 f (x) ，从而使相应点的切线相互平行．这就是不定积分的几何意义. 下一页上一页返回例1　求下列不定积分: 求不定积分的关键：寻求被积函数的一个原函数. 被积函数 f ( x ) = e x，因为(e x)? = e x ，所以被积函数 f ( x ) = sin x，因为(- cos x)? = sinx ，所以被积函数 f ( x ) = 2x，因为 ( x2 )? = 2x，所以下一页上一页返回当 x 0 时，所以当 x 0 时，所以故当 x ? 0 时，得例2　求不定积分解下一页上一页返回基本积分公式下一页上一页返回下一页上一页返回下一页上一页返回性质3　二、不定积分的性质可推广到有限项的情形，称为分项积分. 性质4　 (k ≠0为常数). 性质2　性质1　引入：由不定积分的定义可知，原函数与导函数有互逆关系，即求不定积分与求导数（微分）是两种互逆的运算. 于是有下面的性质1和性质2. 下一页上一页返回直接积分法 —— 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法. 例3　求下列不定积分: 下一页上一页返回例4　求解积分常数可以合并. 其中 C = C1- 2C2 + 5C3，下一页上一页返回