应用数学课件作者方鸿珠蔡承文3-5微积分的基本公式.pptVIP

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2017-11-14 发布于广东
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应用数学课件作者方鸿珠蔡承文3-5微积分的基本公式.ppt

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尚辅网 / 一、变上限定积分二、牛顿—莱布尼兹公式第5节微积分的基本公式下一页上一页返回一、变上限定积分如果 x 是[a, b]上任意一点，定积分表示曲线 y = f (x) 在 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，如图中阴影部分的面积. 当x在区间[a, b]上变化时, 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以定积分 y x y = f (x) a x b O A C B 是上限变量 x 的函数,称为变上限定积分或积分上限函数. 记作 ? (x)，即 ≤ ≤ ?(x) 下一页上一页返回定理1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则变上限定积分在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数，即证　按导数定义，给自变量 x 以增量 ?x，x + ?x ? [a, b]，由? (x)的定义得对应的函数? (x) 的量?? (x)，即下一页上一页返回 ?? (x) = ? (x + ?x) - ? (x) x + ?x A C b B y = f (x) x y x a O ?(x) ?? 下一页上一页返回根据积分中值定理知道，在 x 与 x + ?x 之间至少存在一点 x ， ?? (x) 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，所以，当?x ? 0 时有 x ? x， f (x) ? f (x) 从而有 ? ?(x) 故使成立. 下一页上一页返回定理1说明是函数f (x)在区间[a, b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理1也称为原函数存在定理. 变上限定积分例 1 求?? (x). 解　根据定理1，得下一页上一页返回例2 求 F? (x). 解　根据定理1，得下一页上一页返回例3 求?? (x). 解 ?? (x) 下一页上一页返回例4 解下一页上一页返回二、牛顿—莱布尼兹公式定理2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，那么上述公式建立了定积分与原函数之间的联系，将定积分的计算转化为计算原函数由a到b的增量，从而为计算连续函数的定积分提供了有效而简便的方法. 因此，此定理称为微积分基本定理. 下一页上一页返回证由定理1知道在[a, b]上的一个原函数，又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数，由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，即把 x = a 代入①式中，则，常数 C = F(a)，于是得 ① ≤ ≤ 下一页上一页返回令 x = b 代入上式中，移项，得再把积分变量 t 换成 x，为了使用方便，把则②式就写成如下形式：得 ② —— 牛顿—莱布尼兹公式（N—L公式）下一页上一页返回