微积分经济管理课件作者彭红军张伟李媛等编第七章节向量与空间解析几何初步第二节向量及其运算.ppt

二、向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 四、方向余弦 尚辅网 / 引 在物理学、力学等学科中，经常会遇到既有大小又有方向的这样一类量，如力、速度、力矩等，这类量称为向量或矢量．那么如何表示向量？如何定义向量的运算呢？ 第二节 向量及其运算 一、向量的概念 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 如：力、力矩、位移、速度、加速度 （简称向量） （数量（标量）：与方向无关的量 如：长度、面积、时间、质量、温度） （几何上为有向线段的长度） 其方向是任意的 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加减法 设 a 与 b 为两个向量, 任取一点 A, 作 AB = a , AD = b , 以 AB, AD 为邻边做平行四边形 ABCD, 其对角线向量 AC = c , 称为向量 a , b 的和, 见图, a + b a b A B C D 记为 c = a + b . 这种求向量和的方法称为平行四边形法则. 求两个向量的和时, 也可以使用三角形法则. 方法是, 作 AB = a , BC = b , 则由 a 的起点到 b 的终点的向量就是 c = a + b , 见图. 由向量加法的三角形法则可知, 当三个向量 a , b , c 首尾相接构成三角形时, 有 a + b + c = 0. 当 n 个向量相加时, 可将这些向量依次首尾相接, 则连接第一个向量的起点与最后一个向量的终点所得到的向量即为所求的和. 图 a + b a b 左图是三个向量 a , b , c 的和, 右图是四个向量 a , b , c , d 的和. 图 6 – 8 a + b a b c b + c a + b + c 图 6 – 9 a + b + c + d a b c d 设 a 为一向量, 称与 a 的模相同而方向相反的向量为 a 的负向量, 记为 – a . 规定 a 与 b 的差(见图) 为 a – b = a + ( – b ) . 由右图可以看到, 求两个向量的差时, 可以将向量的起点置于同一点, 连接两个向量的终点所得到的向量就是 a – b 或 b – a . a b – b a – b a + ( – b ) a b a – b 2. 向量与数的乘法 设 ? 是实数, a 是向量, 规定二者的积 ? a 为一个向量, 且 ??a? = ??? ?a? . 当 ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? 0 时, ? 的方向与 ? a 的方向相反; 当 ? = 0 时, ? a = 0 . 由该定义可知, 当 b = ? a ? 0 时, b 与 a 总是平行. 向量加法及向量与数的乘法是线性运算, 满足下列运算律. 交换律 a + b = b + a ; 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ? ( ? a ) = ? ( ? a ) = ( ? ? ) a ; 分配律 ? ( a + b ) = ? a + ? b , ( ? + ? ) a = ? a + ? a . 设 a 是非零向量, a 0 是与其同方向的单位向量. 由数与向乘积的定义可知, a 与 ?a? a 0 有相同的方向, 并且 ?a? a 0 的模为 ??a? a 0? = ?a? ?a 0? = ?a? , 即 a 与 ?a? a 0 有相同的模, 所以 a = ?