微积分经济管理课件作者彭红军张伟李媛等编第三章节导数与微分第四节隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数.pptVIP

第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数 例1 设 尚辅网 / 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数 但有些隐函数显化是相当困难的, 如 sin(xy) - ln(x + y) = 0. 下面通过具体例子说明不进行显化的隐函数的求导方法. 有时, 一个函数由一个方程给出, 如 x + y3 ?1=0, 这样的函数称为隐函数. 一般地, 如果变量 x 和 y 满足一个方程 F (x, y)=0, 在一定条件下, 能确定 y 是 x 的函数, 那么就称方程 确定了一个隐函数. 与此对应, 具有 y = f (x)形式的函数称为显函数. 把一个隐函数化为显函数, 称为隐函数显化, 如x + y 3 – 1 = 0 可以写成 例1 设 sin(xy) - ln(x + y) = 0 确定了函数 y = y (x), 求 y ?. 解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有 例2 方程 y = x lny 确定了函数 y = y (x), 求 y ?. 解 方程两边同时对 x 求导, 得 例3 方程 x 2 + xy + y 2 = 4 确定了y 是 x 的函数求曲线上点 (2, ?2) 处的切线方程. 解 方程两边同时对 x 求导, 得 于是, 点(2, ?2)处的切线方程为 即 x – y – 4 = 0. 2x + y + xy ?+ 2yy? = 0, y ? (? 2) = 1 ? (x ? 2), 例4 求由方程 函数 y 的二阶导数 y ?. 所确定的隐 解 由隐函数求导法, 得 上式两边再同时对 x 求导, 得 例5 设 y = y (x) 由方程 所确定, 求 y ?. 解 方程变形为 两边同时对 x 求导, 得 上式两边再同时对 x 求导, 得 对于有些函数, 使用对数求导法求导要比通常的方法简便. 所谓对数求导法就是先在 y = f (x), 的两边取对数, 然后再用隐函数求导法求出 y 的导数. 二、对数求导法 观察函数 对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。 例6 y = x x (x 0), 求 y ?. 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得, 于是 y ?= y (1 + lnx) = x x (1 + lnx). 上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法, 也可以按下列方法书写, y = x x = e x lnx, 于是 y ? = e x lnx? (xlnx)? = x x(lnx + 1). 例7 设 x 1, x ? 2, 3, 4, 解 如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的导数, 将是很复杂的. 为此先将方程两边取对数得 上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得 三、由参数方程确定的函数的导数 参数方程的一般形式为： t 是参变量。 例如： 表示半径为 a 的圆： 时, 有 求 已知 求 解：