应用数学课件作者方鸿珠蔡承文6-1级数的概念和性质.pptVIP

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2017-11-14 发布于广东
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应用数学课件作者方鸿珠蔡承文6-1级数的概念和性质.ppt

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尚辅网 / 级数是高等数学的一个重要组成部分，它是进行数值计算及近似计算解微分方程的一种工具．本章先介绍无穷级数的一些基本概念，然后研究在电工学等学科中经常用到的傅立叶（Fourier）级数，着重讨论如何将函数展开为傅立叶级数与积分的问题．返回下一页上一页第6章级数一、数项级数及其收敛性返回下一页第1节数项级数的概念和性质二、数项级数的基本性质三、数项级数收敛的必要条件上一页一、数项级数及其收敛性在初等数学中遇到的加法，都是有限项的和式，但是在某些实际问题中，会出现无穷多项相加的情形．引例分数写成循环小数形式时为在近似计算中，可以根据不同的精确度要求, 返回下一页上一页取小数点后的位做的近似值. 显然,n 越大,这个近似值就越接近 , 根据极限的概念可知也就是说这样就得到了一个“无穷和式”，这个“无穷和式”就是一个数项级数．所以有返回下一页上一页由于式中的每一项都是常数，　　定义1 设给定一个数列u1 , u2 , …, un , … ，则表达式 u1+ u2 + ··· + un + ··· 称为无穷级数. 其中 u1 , u2 , · · · 叫做该级数的项， un 称为一般项或通项. 所以又叫数项级数，简称级数，称 u1+ u2 + ··· + un + ··· = 为部分和数列，记作Sn. 返回下一页上一页例如都是常数项级数.又如都是函数项级数．返回下一页上一页无穷级数是无穷多个数累加的结果，引例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答．返回下一页上一页为该级数的和．即对于无穷级数 ,它的前 n项之和定义2 称为级数的部分和．是收敛的,并称S 则称级数返回下一页上一页如果当时，则称这级数是发散的.当级数收敛时,级数的和S与它的部分和之差在数项级数中,应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）．称为级数的余项.以部分和作为和S的近似值所产生的误差,就是这个余项的绝对值返回下一页上一页例 6-1 试讨论等比级数　a + ar + ar2 + ··· + arn-1 + ··· (a ? 0) 的收敛性. 当 r ? 1 时，所给级数的部分和为根据等比数列前 n 项的求和公式可知，解返回下一页上一页由定义 2 知，该等比级数收敛，即返回下一页上一页所以这时该等比级数发散. 当 r = 1 时，因此该等比级数发散. 返回下一页上一页部分和数列极限不存在，故该等比级数发散. 当 n 为奇数，当 n 为偶数， ≥ 返回下一页上一页解注意到因此，例 6-2 求级数的和. 返回下一页上一页所以该级数的和为即返回下一页上一页返回下一页上一页二、数项级数的基本性质根据数项级数收敛性的概念，可以得出如下的基本性质：则级数也收敛，且性质1 收敛，k为任意常数，若级数若增加、去掉或改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性，但对于收敛的级数其和要改变．性质2 和都收敛,则级数若级数也收敛，且性质3 返回下一页上一页返回下一页上一页例6-3 判别级数是否收敛?若收敛，求其和．解: 因为是公比为的等比级数，它是收敛的，且其和为是公比的等比级数，它也是收敛的，且其和为根据性质2，可知级数收敛，且其和为返回下一页上一页就有于是因此这时必有这就是级数收敛的必要条件 . 三、数项级数收敛的必要条件返回下一页上一页