应用数学课件作者方鸿珠蔡承文7-2拉氏变换的性质.pptVIP

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2017-11-14 发布于广东
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应用数学课件作者方鸿珠蔡承文7-2拉氏变换的性质.ppt

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第2节拉氏变换的性质性质3(滞后性质)若L［f(t)］=F(p) ，则L［f(t－a)］=e-apF(p),(a 0)　　（7-4）例7-7 求L［u（t－a）］尚辅网 / 返回下一页上一页拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．性质1 (线性性质) 若 a1、a2是常数。且Ｌ[f1(t)[=F1(p)，Ｌ[f２(t)[=F２(p)则 L[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1L[f1(t)]+a2L[f2(t)] =a1F1(p)+a2F2(p) (7-2) 返回下一页上一页证明例7-5 求下列函数的拉氏变换：（１）　　　　　（２）解(1) (2) 返回下一页上一页返回下一页上一页性质2（平移性质）若L［f(t)］=F(p) ，则Ｌ［e at f(t)］=F(p-a)(a为常数)　 (7-3) 　　　　位移性质表明：象原函数乘以 e at 等于其象函数左右平移︱a︱个单位．证明解因为例7-6 求 L[ t eat ] , L[e -at sin ωt] 和Ｌ［e -at cos ω t］. 由位移性质即得返回下一页上一页返回下一页上一页证明在拉氏变换的定义说明中已指出,当t0时．F(t)=0.因此，对于函数f(t-a),当t-a0（即ta）时,f(t-a)=0，所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分,令t-a= ,则返回下一页上一页　滞后性质指出：象函数乘以e-ap等于其象原函数的图形沿 t 轴向右平移 a个单位。返回下一页上一页由于函数 f(t-a)是当t≥a时才有非零数值.故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点,常在 f(t-a)这个函数上再乘u(t-a),所以滞后性质也表示为返回下一页上一页因为，由滞后性质得解返回下一页上一页例7-8 求解因为　所以解如图7-5所示， f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t)=cu(t)+cu(t-a)-2cu(t-3a) ，于是例7-10 已知 f(t) 2c a 2a 3a c t 图7-5 返回下一页上一页返回下一页上一页由拉氏变换定义来验证： (7-5) 证明由拉氏变换定义及分部积分法，得可以证明,在L[f(t)]存在的条件下,必有性质4（微分性质）若L[f(t)]=F(p), 并设 f(t)在[0,+∞]上连续, 为分段连续，则返回下一页上一页返回下一页上一页微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 p ，再减去函数的初始值．应用上述结果，对二阶导数可以推得同理，可得以此类推，可得由此可见,f(t) 各阶导数的拉氏变换可以由 p 的乘方与象函数 F(p)的代数式表示出来.特别是当初值时,有更简单的结果（7-7）利用这个性质，可将 f(t) 的微分方程转化为 F(p) 的代数方程．返回下一页上一页例7-11 利用微分性质求解令由7-6式，得即移项化简得返回下一页上一页利用上述结果，及(7-5) 式，可得返回下一页上一页返回下一页上一页性质5（积分性质）若L[f(t)]=F(p)(p≠0), 且设f(t)连续，则（7-8）证明令，显见 ,且因，由微分性质，得积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 p ．返回下一页上一页返回下一页上一页例7-1