应用数学课件作者河南机电学校第八章节直线和圆的方程.ppt

第四节　圆 的 方 程 图　8-15 我们知道，平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.定点是圆心，定长是圆的半径.下面我们来求圆的方程. 在平面直角坐标系Oxy中，设一个圆的圆心是C(a,b)，半径为r，如图8-15所示. 例1　写出下列圆的标准方程：  设点M(x,y)是圆上任意一点，则 |MC|=r ?|MC|2=r2?(x-a)2+(y-b)2=r2 因此，圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程是 我们把它称为圆的标准方程. 特别地，以圆点(0，0)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是 (1) 圆心为(-2，3)，半径为2；  (2) 圆心为原点，半径为5. (2)x2+y2=25. (1)(x-7)2+(y+5)2=16； 　　  (3)x2+y2=9. 由(x-a)2+(y-b)2＝r2可以看出，圆的方程是x、y的二元二次方程，并且x2、y2的系数相等，没有xy项.将其展开可以整理成 此式称为圆的一般式方程. 由例3看出，具有上述特点的二元二次方程表示的图形有且只有三种可能：有时表示一个圆，有时表示一个点，有时不表示任何图形. 三、圆与直线的位置关系 三、圆与直线的位置关系 在中学学习平面图形时，同学们就知道圆与直线间有且只有三种情况： (1)相交(直线与圆有两个交点，如图8-16所示)； (2)相切(直线与圆只有一个交点，如图8-17所示)； (3)相离(直线与圆没有交点，如图8-18所示). 三、圆与直线的位置关系 图　8-17 图　8-16 图　8-18 由图8-16知，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离d小于圆的半径r，即：当dr时，直线与圆相交. 由图8-17知，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d正好等于圆的半径r，即：当d=r时，直线与圆相切. 由图8-18知，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离d大于圆的半径r，即：当dr时，直线与圆相离. 三、圆与直线的位置关系 2.斜截式方程 如果直线l与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)，那么a叫做直线l的横截距，b叫做直线l的纵截距. 已知直线l的斜率为k，纵截距为b，求这条直线的方程.由纵截距的意义知道，直线l经过点B(0,b)(图8-10)，又知它的斜率为k，由点斜式方程，得 即 这个方程是由直线l的斜率k和它的纵截距b确定的，称为直线的斜截式方程. 第二节　直线的方程 图　8-10 第二节　直线的方程 3.两点式方程 已知直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x2≠x1)，求直线l的方程. 因为直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x2≠x1)，所以它的斜率 再在P1，P2中任取一点，若取P1(x1,y1)，代入点斜式方程，得 第二节　直线的方程 当y2≠y1时，这个方程可以改写成下面的形式 这个方程是由直线上两点确定的，称为直线的两点式方程. 4.截距式方程 已知直线l的横截距为a，纵截距为b，求直线l的方程.因为直线l经过A(a，0)、B(b，0)两点，由两点式方程得 即　 这个方程是由直线的横截距和纵截距确定的，称为直线的截距式方程. 图　8-11 第三节　点、直线间的关系 一、直线的一般式方程 前面我们学习了直线方程的四种常见形式，它们都是二元一次方程.可以证明，任何一条直线的方程都是关于x和y的一次方程；反之，关于x和y的一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线，其中A、B、C为任意实数，A、B不全为零. 我们把方程 Ax+By+C=0 叫做直线的一般式方程(其中A、B不全为零). 为叙述简便，我们把“一条直线，它的方程是Ax+By+C=0”简称为“直线Ax+By+C=0”. 一、直线的一般式方程 二、两条直线的夹角 两条直线相交成四个角，它们是两对对顶角.我们把其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.对于两条平行(或重合)的直线，我们规定它们的夹角为0°. 设夹角为θ的两条直线(图8-12)l1和l2的方程为 l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 它们的倾斜角分别为α1，α2，则斜率是k1=tanα1,k2=tanα2.可以证明，两条直线的夹角θ有如下计算公式： 此公式称为两条直线的夹角公式. 二、两条直线的夹角 图　8-12 二、两条直线的夹角 如果两条直线中有一条直线垂直于x轴(斜率不存在)，不妨设l1垂直于x轴，容易证明l1和l2的夹角θ=|90°-α2|. 三、两条直线的平行和垂直 三、两条直线的平行和垂直 设两条直线l1和l2都不垂直于x轴，它们的倾斜角分别是α1和α2，斜率分别为k1和k2，下面我们来讨论两条直线互相平行和互相垂直时它们的斜率之间的关系. 1.两直线互相平行 如果l1∥l2(图8-13)，那么α1=α2，从