全国硕士研究报告生入学统一考试.doc

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学 （一）试卷答案和评分参考 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.） （1）曲线上与直线垂直的切线方程为 y = x―1 . （2）已知，且，则. （3）设为正向圆周在第一象限的部分，则曲线积分的值为. （4）欧拉方程的通解为 . （5）设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则 . （6）设随机变量服从参数为的指数分布，则 . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.） （7）把的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 B 】 （8）设函数连续，且，则存在，使得 （A）在内单调增加. （B）在内单调减小. （C）对任意的有. （D）对任意的有. 【 C 】 （9）设为正项级数,下列结论中正确的是 （A）若,则级数收敛. （B）若存在非零常数,使得,则级数发散. （C）若级数收敛,则. （D）若级数发散,则存在非零常数,使得. 【 B 】 （10）设为连续函数,,则等于 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 B 】 （11）设是阶方阵,将的第列与第列交换得,再把的第列加到第列得,则满足的可逆矩阵为 （A）.（B）.（C）.（D）. 【 D 】 （12）设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 （A）的列向量组线性相关,的行向量线性相关. （B）的列向量组线性相关,的列向量线性相关. （C）的行向量组线性相关,的行向量线性相关. （D）的行向量组线性相关,的列向量线性相关. 【 A 】 （13）设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足.若,则等于 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 C 】 （14）设随机变量独立分布,且其方差为.令,则 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 A 】 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分12分) 设,证明. 证法1 设，则 ， ， ……5分 所以当时，，故单调减少，从而当时， ， ……9分 即当时，单调增加. 因此当时， . 即 ， 故 . ……12分 证法2 对函数在上应用拉格朗日中值定理，得 ……3分 设，则, 当时，，所以单调减少. ……9分 从而，即 ， 故 . ……12分 (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注：kg表示千克，km/h表示千米/小时. 解 由题设，飞机的质量kg，着陆时的水平速度=700km/h.从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为. 法1 根据牛顿第二定律，得 . ……4分 又 ， 由以上二式得 ， ……7分 积分得.由于，，故得，从而 . 当时， （km） ……11分 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 法2 根据牛顿第二定律，得 ……4分 所以 . 两端积分得通解，代入初始条件解得， 故