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分形在经济学中的应用 —— 曼德勃罗的经济学研究 1.棉花价格的波动与自相似性 1960年,曼德布罗特研究了美国从1880 年到1958年这一段时间的棉花价格数据随时间变化的曲线。 他采取了一种特殊变换尺度来分析棉花价格, 尽管棉价每次的变化是随机的、不可预测的,但价格的日变化和月变化的曲线完全一致。 棉花价格随时间变化的曲线 2．收 入 的 分 布 收入的分布，已知在大范围内是服从对数正态分布。所谓对数正态分布，是说取对数后就变为正态分布的分布。 下图是把美国1935 年至1936 年的收入分布标绘在对数正态图表纸上而成的。图的纵轴表示收人的对数，横轴表示累积概率， 收 入 的 分 布 点若呈直线排列，那么其分布就表示对数正态分布。 从图可明显看出，除了1％高收入者以外的各点，几乎都呈直线排列，收入分布确实服从对数正态分布。 离开对数正态分布的人的分布 对离开对数正态分布的居于1％以上的人的分布进行详细调查后发现为如下的幂分布： 这一分布型不外乎是迄今多次出现的分数维分布。 无产阶级和资产阶级 收入分布最有趣的可能是无产阶级和资产阶级的分布型有明显的区别。 换句话说也就是： 无产者的收入是对数正态分布； 而资产者的收入则服从分数维分布。 因为资产阶级者的财产超过某一程度时，其收人主要取决于投资。 它可能直接反映股票价格变动中所说的钱的分数维性而决定这些人的收入。 3．股 票 价 格 的 变 动 股票价格的变动图虽经常可在报纸或其他媒体上看到，但因价格涨落得非常厉害，而旦完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可寻。 下面是Mandelbrot发表的论文： 华尔街上的多分形走动 Benoit B. Mandelbrot 描述海岸线形状和星系模式的几何学也可以解释股票价格如何疯涨与暴跌 个体投资者与专业股票和货币炒家比任何时候都更清楚地知道，任何金融市场上的股票牌价变化之快常常令人心跳骤停。 1998年9月，法国的通信设备制造商Alcatel公司的股票价格一天就下跌了4％，随后几天又下跌了6％。然后，第四天，该公司的股票走势又逆转，股价上升了10％。 经典金融模型无法加以考虑 本世纪大部分时间使用的经典金融模型预测，这样的急升急降事件是永远也不应当发生的。 金融学的基础之一是现代证券理论，支撑这种证券理论的数学在处理极端情况时，作了尽可能从宽的忽略： 它认为重大的市场剧变出现的可能性太小，以致没有什么重要性，或者认为这类变化无法加以考虑。 不错，证券理论或许能解释市场在95％的时间里发生的情况。然而，如果人们承认重大的事件就包含在剩下的5％内的话，那么这个理论所描述的图景就没有反映实际情况。 人们必然会想到用海上航行的水手来作一个比喻： 如果大海在95％的时间里风平浪静，水手是否能对发生台风的可能性视而不见？ 经典金融模型无法加以考虑 证券理论提出的防范风险的措施依靠的是一些要求很严的、而且终究没有什么根据的假设。 首先，它认为价格的变动统计上是彼此独立的：例如，今天的价格对于现行价格和明天的价格之间的变化毫无影响。因而，预测未来的市场动向就成了不可能的事情。 第二个假设是，所有的价格变化的分布服从标准钟形曲线这一模式。极端情况的事件被认为是极其罕见的。事实上这一理论规定台风是不存在的。 根据证券理论，这些大的价格波动的概率为亿亿亿分之几。事实上，人们经常观察到尖峰 ——频繁到每个月都会出现,而它们的概率高达百分之几。 Mandelbrot 的  乐 观 立 场 我自己多年的研究工作所持的是一种完全不同的、而且肯定是乐观的立场。 我认为，金融市场价格的变动，可以用根据我在分形几何中的研究成果推导出的一个模型加以解释。 分形的目的并不是要确切地预测未来。但是它们的确是对市场风险的更切合实际的描述。 Mandelbrot  发现的两个法则 (1) 每个单位时间的股票价格的变动分布，服从于特性指数 D = 1.7 的对称稳定分布。 (2) 单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。 关于分形在经济学中应用的论 文 浏 览 应用分形理论研究期货价格行为 侯晓鸿 （中南工业大学工商管理学院）将分形理论的动态分维数应用于期货价格行为的研究，结果发现，能够克服现有的技术分析法所存在的在价格预测上具有时滞性的不足，能够超前指示期货价格行为及可用于预测期货价格趋势的反转。 精 细 化 供 应 链 的 研 究 陈志祥， (华中理工大学管理学院)摘? 要 研究精细供应链的功能特征和精细化企业的熵模型，探讨供应链的复杂性与供应 链运作的关系，为