第零章-英绰达克逊introduction.docVIP

二、補數(complement) 當我們在做二進位減法時，會將減數取補數後再做相加，讓減法之運算，變為單純的加法運算，如此只要設計一種加法運算的電路即可。 補數有兩種形式：r補數(r’s complement)r-1補數(r-1’s complement)，r就是數字系統的基底。例如二進位系統中有2補數和1補數；十進位系統中則有10補數和9補數。 1. r-1補數 對於具有n個位元且基底為r的數字N，則N之r - 1補數的定義為( rn - 1 ) - N。 這是某本書上所寫的定義，看起來非常地艱澀難懂…… 簡單來說，十進位裡的9補數，就是那個數字有幾位數，便拿幾個9(即10-1)來減它；而在二進位裡的1補數，一樣是看那個數字有幾位數，就拿幾個1(即2-1)來減它。例如： (0987)10的9補數為9999 - 0987 = (9012)10 (1010)2的1補數為1111 - 1010 = (0101)2 看起來是不是一點都不難呢？n個位元且基底為r的數字N，則當N≠0時，N之rrn - N。 當N=0時，r補數為0。 這是同一本書上所寫的定義，看起來比較長，因為必須定義0的補數為0(在r-1補數中，0還是照樣拿r-1來減)。 r補數其實就是拿「1後面跟著n個0」來減掉原本的數。同時我們也注意到，r補數可以由r-1補數加1後得到，因為rn - N = ( rn – 1 ) – N + 1，這樣的運算會比較方便。例如： (0987)10的10補數為10000 - 0987 = 9999 – 0987 + 1 = (9013)10 (1010)2的2補數為10000 - 1010 = 1111 – 1010 + 1 = (0110)2 3.用補數進行減法 花了一頁的篇幅講補數，現在終於要來運用它了。但在正式開始之前，先講解一下補數減法的概念。 現在想像有一個時鐘，上面只有一根指針，而數字只有0~9(大概長得像右邊那個怪鐘......)，把指針從0開始，逆時針撥3個數字，發現停在7；此時回想一下，3的10補數是多少？ 什麼？ 剛好就是7？ 其實補數的概念就是如此，在這個鐘上，減3和加7其實是一樣的。利用這點，就可以「用加法來做減法」啦！ 通常我們會使用r補數來做加法取代減法，但有一點要注意，由於我們是在進位系統下作運算，並不是永無止盡地繞。因此，用補數做減法時會多繞一圈，計算完成後要把多餘的那圈砍掉。這個動作說難不難，首先，如果爆出進位，將那個末進位砍掉即可。例如： 如果沒有爆出進位，則將結果取補數並加上負號即可。例如： 相信看完後應該會覺得，搞那麼複雜幹嘛？ 沒錯，對人類來說，這樣的運算是有點複雜，但別忘了我們是讓電腦來運算。在2補數表示法系統下，得到的那串01就代表那個數，而去掉末進位則可以乾脆不儲存它。 4.二進位有號數(signed number) 一般的算術中，都將負數用一個負號表示，正數則用正號表示(通常省略)。但由於硬體的限制，電腦必須使用二進位位元來表示所有的事情。習慣上，我們利用數字最左邊的位元來表示符號，0代表正數，1代表負數。 表.1-1各種二進位有號數對照表(三個位元) 十進位 有號2補數 表示法 有號1補數 表示法 有號大小 表示法 +3 011 011 011 +2 010 010 010 +1 001 001 001 +0 000 000 000 -0 - 111 100 -1 111 110 101 -2 110 101 110 -3 101 100 111 -4 100 - - 這時我們又發現了一個問題，一串位元11000，到底是24還是 -8呢？通常，我們要事先知道該數字的形式，才不會造成這種問題。 二進位有號數的表示法分為有號大小表示法(signed- magnitude)和有號補數表示法(signed-complement)。 有號大小表示法就是直接將正數最左邊的位元換成1來表示相同絕對值的負數，例如：用三個位元來儲存時，+3是011，-3就是111。 這種方法適合一般人類的算術，但在電腦上做運算時，必須將符號和量値分開處理，較為不方便。 因此，在電腦上使用有號補數的系統，就是將正數取補數以得到負數，可以是1補數或2補數，但2補數較為通用。例如：用三個位元來儲存時，+3是011，其2補數為101，則101在有號2補數系統中就代表-3。 來點範例好了： 有號數的運算在基礎上和無號數是一樣的，因此可以使用共同的電路來處理。 ←塗 ←鴉 ←區 第貳章-布林代數（Boolean Algebra）布林代數是一種在電子電路上邏輯演算的依據。電子電路設計師可以藉由對布林代數的邏輯分析，來製作許許多多不同功能的。喬治?布林George Boolean)在1854年所發表的論文