关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究-重庆工商大学学术期刊社.pdfVIP

第 卷第 期 重庆工商大学学报 自然科学版 年 月 文章编号 关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究 赵 文 强 重庆工商大学 数学与统计学院 重庆 摘 要 对含参量广义积分的一致收敛性给予讨论 从一致收敛的定义出发给出一致收敛的充要条件 以及判断一致收敛的柯西判别法 微分法和级数判别法 并给出证明和运用实例 关键词含参量广义积分一致收敛柯西判别法微分法级数判别法 中图分类号 文献标志码 无穷级数是构造新函数的一种重要工具利用它可以构造出一些用通常解析式无法表达的函数这些 函数具有很重要的特性比如利用无穷级数可以构造出处处连续而处处不可微的函数含参量积分是构造 新函数的另一重要工具就是用积分形式表示的函数比如欧拉积分等在数理方程和概率论中经常出现这 样的函数因此学习好含参量积分及其性质具有重要的意义在有限区间上的连续函数的含参量积分具有 很好的分析性质 并且极限与积分 求导与积分 积分与积分都可以交换顺序 于是 人们期望这种情况在其 他情形的含参量积分也具备但是对于含参量广义积分的情形事情就没有那么简单了这需要广义积分和 被积函数具有比连续更好的性质这就是教材中引出一致收敛概念的原因在一致收敛意义下极限与积 分求导与积分积分与积分都可以交换顺序于是判断含参量广义积分的一致收敛性变得尤为重要一般 的分析教材中只是给出了 判别法 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 显然这些方法是有限的 很多含参 量广义积分是否一致收敛很难方便确定 此处从含参量广义积分一致收敛的定义出发 与广义积分收敛性 判别法对照得到了含参量广义积分一致收敛的柯西判别法微分法和级数判别法并给出证明和应用供参 考其实这些方法的原理简单学生也容易掌握这里主要考虑如下定义的含参量无穷限广义积分至于无 界函数的含参量广义积分有类似结果这里不再赘述 规定表示实数轴上的区间可以有限也可以无限首先给出含参量广义积分和一致收敛两个概念 定义设 定义在无界区域 上 若对每个固定的 广义积分 都收敛则它是在上取值的函数记作 即