图论二—最短路径及网路问题.docVIP

圖論(二)—最短路徑及網路問題 最短路徑法(Shortest path algorithm) 觀察：如果s,v1,v2,...,vi,..,vk是s到vk的最短路徑，則s,v1,v2,...,vi是s到vi的最短路徑。 有四種狀況： 所有的權重均為1。求s到其他所有點之最短路徑。 所有的權重均為非負值(0或大於0)。求s到其他所有點之最短路徑。 權重可以為負，但迴路之總權重不為負值。求s到其他所有點之最短路徑。 任意二點之間的最短路徑。 第一種情形(所有的權重均為1。求s到其他所有點之最短路徑。) BFS (Breadth First Search), 複雜度：O(|E|) Begin Lable s with 0; i ( 0; if (an unlabeled node adjacent to a node labeled i then begin while (an unlabeled node adjacent to a node labeled i do begin label this node i+1; end_of_while; i ( i+1; go_to if_statement; end_of_if; end. 第二種情形(所有的權重均為非負值，0或大於0。求s到其他所有點之最短路徑。) Dijstra’s algorithm 複雜度：O(|V|2) notation: ((x)(0, label x with 0 Begin ((s) ( 0; ((v) ( (, (v(s; /* ( 代表無限大 */ T ( V; P ( (; u ( s; Repeat for each vertex v(T adjacent to u do ((v) ( min{((v), ((u)+w(u,v)}; T ( T – {u}; P ( P({u}; u ( a new vertex in T with min. ((u); Until either (T = () or (((u)= (); end. 第三種情形(權重可以為負，但迴路之總權重不為負值。求s到其他所有點之最短路徑。) Bellman and Ford algorithm 複雜度：O(|V|(|E|) Umj = the length of a shortest path from s to j among all paths that contain at most m arcs. = Begin m ( 0; U0s ( 0; U0j ( (, for all j(s; /* (代表無限大 */ repeat m ( m+1; Umj(Ujm-1, (j, 1 ( j ( n; for each arc(K,j) in G do Umj = min{Ujm , UKm-1+w(K,j)}; until (Umj = Ujm-1) or (m = n) for (j(G; IF (m = n) and (Umj(Ujm-1) then output(“exist negative cycle!”) end. (例) 令Um = [Umj], j=1,2,3,4 U0 = [0, (, (, (] /* ( 代表無限大 */ U1 = [0, (, 4, 10] U2 = [0, 13, 4, 10] /* 13 = min(13,14) */ U3 = [0, 13, 4, 10] 第四種情形(任意二點之間的最短路徑) Floyd and Warshall algorithm 複雜度: O(N3) Let the vertices be noted by 1,2,3...,n Uki,j = 介於i,j之間的點編號最高為k時之總長度 Begin U0ii ( 0, (i U0ij ( w(i,j), ((i,j)(E U0ij ( (, ((i,j)(E /* ( 代表無限大 */ for k=1 to n do begin for i=1 to n do for j=1 to n do Ukij ( min{Uijk-1, Uikk-1+ Ukjk-1} end end end. (例)  網路(network) 【定義】 網路(network)是一「加權有向圖」(weighted directed graph)，並具有以下之性質： 網路上有二個特殊的點，分別稱之為「源點」(source)和「終點」(s