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2007年数学四真题解析 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）当时，与等价的无穷小量是（B） . （2）设函数在处连续，下列命题错误的是： (D) .若存在，则 若存在，则 .若存在，则存在 若存在，则存在 （3）如图。连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） . （4）设函数连续，则二次积分等于（B） （5）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D） 10 20 30 40 （6）曲线渐近线的条数为（D） 0 1 2 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A） (B) (C) (D) （8）设矩阵，则A与B (B) （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A) （A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） （12）设函数，则 （13）设是二元可微函数，则 （14）微分方程满足的特解为 （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿ (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿＿＿＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本题满分10分） 设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性。 【详解】： （18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中 【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即 利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得 设，其中 于是 由于，故 为计算上的二重积分，可引入极坐标满足。在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故 令作换元，则，于是且，代入即得 综合以上计算结果可知 （19）（本题满分11分） 设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 【详解】： 证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点。若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在 (2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即 （20）（本题满分10分） 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。 【详解】： 【详解】： 因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 的解。 即距阵方程组(3)有解的充要条件为 。 当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解。解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为： 当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为－2，1，1. 前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也