第一章_计算声学中的数值计算及误差分析1.ppt

前言 海洋环境 前言 已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的声速值？ —函数插值/曲线拟合 前言 前言 声线轨迹如何计算？ ——数值积分 前言 问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解 前言 伪彩色图 前言 已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其与理论计算的结果的误差？ ——曲线拟合 前言 随机共振系统对微弱信号的检测 非线性双稳态随机共振系统 利用四阶龙格库塔算法求解 ——微分方程求解 前言 前言 前言 前言 必要性：现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数值计算，水声领域也不例外 本课程的主要内容：介绍声学理论与实验研究以及研究过程中常用的一些数值分析方法，其中数值算法主要包括：误差分析、方程组求解、非线性方程求解、插值法、最小二乘与曲线拟合、数值微积分、常微分方程求解。 第一章 数值计算中的误差分析 内容提要：了解数值计算的任务和特点，掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数值计算的误差估计以及设计算法的原则。 重点内容：绝对误差、相对误差、有效数字的概念，数值计算的误差估计 §1 数值计算的对象、任务与特点 对象：数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个分支，涉及代数、微积分、微分方程等的数值解问题。 任务：研究适合在计算机上使用的数值计算方法及相关理论，如方法的收敛性、稳定性和误差分析等；还要根据计算机的特点研究如何设计计算方法，做到计算时间短、占用内存小。 学习目的：提高应用计算机解决实际问题的能力。 §1 数值计算的对象、任务与特点 数值计算流程： 特点：既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论体系的计算数学课程。 §2 误差与数值计算的误差估计 一、误差的来源与分类 1. 分类 过失误差：人为造成，可以避免 非过失误差：无法避免 §2 误差与数值计算的误差估计 2. 误差来源 模型误差：数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种近似描述。 观测误差：测量工具精度与测量手段的限制。 截断误差：由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确解之间的误差，是数值计算方法固有的。 舍入误差：计算机位数的限制。由于计算机的字长是有限的，对参与计算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位小数代替无穷位小数。 §2 误差与数值计算的误差估计 绝对误差与绝对误差限 绝对误差：设某一量的精确值为 ，其近似值为 ，则称 为近似值 的绝对误差，简称误差 时称 为弱近似值或亏近似值； 时称 为强近似值或盈近似值。 绝对误差限：如果存在 ，使得 ，则称 为近似值 的绝对误差限，简称误差限或精度。（测量时，测量工具最小刻度的一半） 越小，表示近似值 的精度越高。 在工程技术上常用 表示近似值的精度或精确值的范围。 §2 误差与数值计算的误差估计 相对误差和相对误差限 相对误差：绝对误差与精确值之比，即 称为近似值的相对误差。 实际中，由于精确值 一般无法知道，所以常取 作为近似值 的相对误差。 相对误差限：若存在 ，使得 ，则称 为近似值 的相对误差限。 注意：绝对误差和绝对误差限与 有相同的量纲，相对误差 和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。 §2 误差与数值计算的误差估计 例1.1 国际大地测量学会建议光速采用 其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？ §2 误差与数值计算的误差估计 有效数字 描述：如果近似值 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位开始直到 的第一位非零数值共有n位，则称近似数 有n位有效数字。 有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。 例1.2 设