1.3空间几何何的表面积与体积.ppt

多面体的平面展开图 小结已学过的几何体的体积公式 设S为底面面积,h为高 正方体,长方体的体积公式 圆锥的体积公式 棱椎的体积公式 圆台（棱台）的体积公式 (设S，S’为上,下底面面积,h为圆台或棱台的高） 球没有底面，怎么样求球的体积呢？ 用分割法来求圆柱体的体积 是否也能用分割法来求球的体积？ 应该怎么分割呢？ 先来看这一段动画，你能从中想到什么？ 当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。 将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层（由下而上），如右图。 “小圆片”的体积近似于圆柱体体积 它的高就是“小圆片”的厚度 底面就是“小圆片”的下底面 。 第i层“小圆片”的体积 半球的体积 结论 当分层越多，即n越大时上式越接近半球的体积，当n无限大时，就能从上式得到球的体积公式。 所以 回顾与反思 球的体积公式： 数学方法： 分割，求近似值，化成准确值。 步骤： 1.将半径n等分 2.近似求出每一部分的体积 3.当n取无限大时，就可以得到球的体积 球的体积公式的应用 例2．街心花园有许多钢球（密度是　　　 ），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的。如果是空心的，请计算出它的内径（结果精确到1cm）。 解：外径为50cm的钢球的质量为 街心花园的钢球质量为145000g ，而 145000517054,所以钢球是空心的。 设球的内径为2xcm，那么球的质量为 解得 答：钢球是空心的，其内径约为45cm。 练习　　P56 1,2,3,4 例2 如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm) 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x/ y/ z/ 这个奖杯的体积为 V=V正四棱台+V长方体+ V球 其中 V正四棱台 V正方体=6×8×18=864 V球= 所以这个奖杯的体积为 V=1828.76cm3 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 球的表面积 球的表面积 第一步：分割 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： O O 球的表面积 第二步：求近似和 由第一步得： O O 球的表面积 第三步：化为准确和 如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥 O 球的表面积 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 例题讲解 O A B C 例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积． 解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r， 例题讲解 O A B C 例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积． 例题讲解 1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ） A 3л B 4л C D 6л 解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、