Hausdorff数与Fractal维数等价范数下的不变性.pdf

第25卷第4期 宁德师范学院学报(自然科学版) V01．25No．4 2013年 l1月 JournalofNingdeNormalUniversity(NaturalScience) Nov．2013 Hausdorff~数与Fractal维数等价范数下的不变性 钟延生 (福建师范大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350117) 摘要：Hausdo 维数与Fractal维数是研究集合维数中最基本的两种度量方式，探讨了Hausdo 维数与Frac— tal维数在等价范数下的不变性 ，并给出了一种新的证明． 关键词：Hausdo 数；Fractal维数；等价范数 中图分类号：O177．91 文献标识码：A 文章编号：2095-2481(2013)04．0337-05 Euclid维数是数学领域中最常见的—种维数，多用于规则集合的度量，如蠊 示n维空间，即存在n 个线性无关的基向量．但对于一些不规则集合，如cant0r集与有理数集都属于R，，则需更为精细的维数度 量方法，且需满足下面的条件：(i)若 cY，则d()Cd(y)(ii)若别 的开集，则d()= ()d(Xf3 Y)=max(d(X)，d(Y))． 其中，Haudo雠 数与Fractal维数是满足以上条件的两个基本维数度量．~llCantor集的Fractal维数是 d，(c)= ，而[0，1】上有理数集Fractal维数dz(Qf-10【，1])=1．目前 ，学界对Hausdorff维数与Fractal维数的 tog3 定义及其相关性质作了较充分的讨论，如 【1—6】．对Hlder连续映射．厂的Hausdo雠 数与Fractal维数作了理 论上的估计 ，见[5，6】．同时，将其应用到无穷维动力系统中，讨论当其吸引子或惯性流形的Fractal维数有 限时，原方程 I~ILiapunov—Schmidt约化为有限维的情形，~／1114，5】．本文拟从理论结果的实际运用角度出 发，探讨在等价范数下Hausdorff~数与Fractal维数的不变性．其中，证明的方法由Hausdorff~．数与Fractal 维数定义的覆盖数与覆盖半径与等价范数的关系中给出，由此深化Hausdorff~数与Fractal维数的内涵， 并在一定程度上拓展其实际应用范围． 记E为Banach空间，其中第1节给出一些基本概念 ，第2节证明在等价范数下Hausdo 维数与Fractal 维数不变． 1基本定义 首先给出一些基本定义． 定义 1I7I设 。，ll·IIz~Banach空间E上的两个范数，范数 与 2等价的充要条件是存在常数c≥1 使得对任意 ∈E，有去 l≤Ilxll2CIIxll1． 注 1 (i)上述等价性具有对称性，即相应有去Ilxll2≤IlxllCllxll2 (ii)若Banach空间E为有限维，则所有范数均等价；若Banach空间E是无穷维，则存在不等价的范数． (iii)若Banach空间E中两个范数等价，最佳常数c的估计． 例 1 。，记 (。，X2，…，Xn)，~1]llxllh≤、／ 电，其中 h= ltxJ，lI( kI) 收稿 日期：2013—10_o6 通讯作者：钟延生(1981一)，男，讲师 ，博士．E—lnail：zhyansheng08@163．eonl 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目(NO；福建省自然科学基金资助项 目(2012J05002)；博士后基金资 助 (2Ol1M5O1074)． · 338· 宁德师范学院学报(自然科学版) 2013年 11月 事实上，即求，()=(∑nIxl)也在约束条件 lfI=IxI+lx 。+‘lxnl=l下最小值．由对称性易得当 =…= 时，取最小，l~pfm()=(( )2+…+( )) 而· f2(∑n渊 ≤[(∑ )2] ∑ ·