22.6.1特征值与特征向量(哈工大线性代数课件).ppt

预习 6.2 相似矩阵 * 《线性代数与空间解析几何》 第二十二讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 6.1 特征值与特征向量 第六章 特征值、特征向量 及相似矩阵 . 特征值与特征向量的概念； 特征值与特征向量求法； 特征值与特征向量的性质； 实对称阵的特征值与特征向量. 本节的主要内容 在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题： 1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列 向量X,使向量AX与X平行？ 2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？ AX=?X 问题的提出： 设 则对于 有 而对于 可见有些向量X, 有AX与X平行这个性 质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性 质的向量称为特征向量. 例1 1.定义 设A是n阶方阵,若存在数 ? 及非零列 向量X, 使得 则称 ? 是A的特征值, X是A的属于 特征值 ? 的特征向量. 6.1.1 特征值与特征向量的概念 1.若X=0,则A0=?0,(??)成立. 2.几何意义:向量AX= 注 AX= ?X, 求方阵A的特征值: 称 即 为矩阵A的特征多项式, 征值的问题就转化为求特征方程根的问题. AX= ? X(X? 0) 有非零解 为矩阵A的特征方程,求矩阵特 2. 特征值与特征向量的求法 求方阵A的特征向量: 求 所对应的特征向量问题就转化为 求齐次线性方程组的非零解问题. 由齐次线性方程组解的性质知特征向 量有以下2条性质: (1)X是属于 的特征向量,则 (2) 是属于 的特征向量,则 的非零解 对A的特征值 ,称方程组 的解空间 为A的关于特征值 的特征子空间. 特征子空间: 求A的特征值与特征向量的步骤如下: (1)由 求A的特征值 (2)分别把A的每个特征值 代入方程组 , 求出它的基础解系. 则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 的全部特征向量. 求方阵A的特征值: 称 即 为矩阵A的特征多项式, 征值的问题就转化为求特征方程根的问题. AX= ? X(X? 0) 有非零解 为矩阵A的特征方程,求矩阵特 2. 特征值与特征向量的求法 求方阵A的特征向量: 求 所对应的特征向量问题就转化为 求齐次线性方程组的非零解问题. 由齐次线性方程组解的性质知特征向 量有以下2条性质: (1)X是属于 的特征向量,则 (2) 是属于 的特征向量,则 的非零解 对A的特征值 ,称方程组 的解空间 为A的关于特征值 的特征子空间. 特征子空间: 求A的特征值与特征向量的步骤如下: (1)由 求A的特征值 (2)分别把A的每个特征值 代入方程组 , 求出它的基础解系. 则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 的全部特征向量. ,求A特征值和特征向量 及特征子空间. 解 (1)求A的特征值 A的特征值为 对 ,解方程组 (2)求特征向量 例2 由 得同解方程组: 得基础解系为 得A的属于-1的全部特征向量为 是不全为0的任意常数. 对 ,解方程组 得同解方程组: 得基础解系为 得A的属于5的全部特征向量为 是不为0的任意常数. 得A的关于特征值-1和5的特征子空间为： 为任意常数 为任意常数 1.特征值的性质 性质1 设 为n阶矩阵A的特征值， 则 证 由已知 6.1.2 特征值与特征向量的性质 只能出现在 乘积项中. 另一方面, 比较(1),(2)中 的系数及常数项,得结论. 则 设λ为n阶方阵A的特征值, 且 1. 有0 特征值. 2. A可逆 注: A的特征值都非0. 证 则 (X≠0) 用数学归纳法可得,对?k?N,有 性质2 若 且A可逆,则 例3 (X≠0)， 证 且 A可逆, 则 而 X也是 的属于特征值 的特征向量. 定义法 2.特征向量的性质 定理6.1 如果?1, ?2,…,?m是n阶方阵A的互 异特征值, 则它们所对应的特征向 量 X1,X2,…, Xm线性无关. 证 由已知 对特征值个数m用数学归纳法. 当m=1时