L15（2）的新刻画.pdf

鬏 数学物理学报 2013，33A(6)：I169—1177 http：／／actams．wipm．ac．cn L15(2)的新刻画 张 良才 张苗 聂文敏 (重庆大学数学与统计学院 重庆沙坪坝401331) 摘要：对于任意一个有限群 G，令 丌(G)表示由它的阶的所有素因子所构成的集合．该文构建 一 种与之相关的简单图，称之为素图，记作 r(a)．该图的顶点集合是 丌(G)，图中两顶点P，q 相连 (记作P q)的充要条件是群 G恰有Pq阶元 I1 J．令 7r(G)={p1，p2，… ，P}．对于任 意P∈7r(G)，令 deg(p)：=l(g∈7r(G)I在素图r(G)中，P g 并称之为顶点P的度数． 同时，我们定义D(G)：=(deg(p1)，deg(p2)，… ，deg(p))，其中p1p2… P，并称之为 群 G 的素图度数序列．若存在 k个互不同构的群与群 G具有相同的群阶和素图度数序列， 则称群G是可 k一重 0D 一刻画的．特别地，可 1一重 0D一刻画的群也称为可 0D一刻画的 群 _1．在该文中，引入一个新的引理并证明了特殊射影线性群 L15(2)是可OD一刻画的．作 为一个推论，得到 s(2)是可 OG一刻画的．该方法也可适用于其它一些具体的有限单群． 关键词：有限单群；素图；顶点度数；素图度数序列． MR(2000)主题分类：20D05；20D06；20D60 中图分类号：O152．1 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2013)06—1169—09 1 引言 对于任意一个群 G，丌(G)表示 由它的所有元素的阶所构成的集合，而 丌(G)表示 由G 的阶的所有素因子所构成的集合．对于 丌(G)，我们构建一种与群 G相关的简单图，称之为素 图，记作 F(C)．该图的顶点集合是 7r(G)，图中两顶点P，q相连的充要条件是Pq∈7r。(G)．在 此情形下，我们写作P^一q(参见文献 [7，15])．我们采用8(a)与71i(G)(=1，2，…，s(G))分别 表示素图r(a)的连通分支数及它的不同连通分支．当 jGl是偶数时，我们总假定2∈7[1(G)． 在本文中，Soc(a)表示群G的基柱，亦即群G的所有极小正规子群生成的子群；Syl(G) 表示群 G的所有 SylowP一子群组成的集合；G 表示群 G的一个 SylowP一子群，其中 P∈7r(G)．所有未说明的记号都可参考文献 [2]． 定义 1．1[11]令G是一个有限群，lGl=p 理·。…pr，其中Pl，P2，…，P ∈ ，OZl，Og2，…， ∈N且 PlP2… P．对于 P∈7r(G)，规定 deg(p)：=l{q∈丌(G)f在素图r(c)中，P q) 收稿 日期：2012—07—13；修订日期：2013—02—07 E—mail：zlc213@163．corn；1073165848@qq．corn；niewenmin1129@163．com }基金项 目：国家自然科学基金 11171364和国家自然科学青年基金项目资助 通讯作者 1l70 数 学 物 理 学 报 、，01．33A 并称之为顶点P的度数．令 D(G)：一(deg(p1)，deg(p2)，… ，deg(p))， 则称 D(C)为群 G的素图度数序列． 定义 1_2[11]若存在 k个互不同构的群与群 G具有相同的群阶和素图度数序列，则称 群 G是可 k一重 OD一刻画的．特别地，若 k 1，则称群 G是可 OD一刻画的． 类似地，我可以得到以下定义． 定义 1．3