Minkowski空间上平分集的道路连通性.pdf

第 34卷第6期 通 化 师 范 学 院 学报(自然科学) Vo1．34 №6 2013年 12月 JOURNALOFTONGHUANORMAlUNIVERSITY Dec．2013 Minkowski空间上平分集的道路连通性 许 晶，吴晓微 (通化师范学院数学学院，吉林 通化 134002) 摘 要：本文利用Minkowski空间中单位球面上的极大非平凡线段的长度和等腰正交唯一性的关系，得到了Minkowski平面 上的平分集是道路连通的，并将这个结果推广到了维数大于等于3的Minkowski空间中． 关键词：平分集；等腰正交；Minkowski平面；Minkowski空间；道路连通 中图分类号：0177 文献标志码 ：A 文章编号：1008—7974(2013)06—0007—03 1 预备知识 所在空间的几何性质，其几何结构也因此一直是人 设 是一个 Minkowski空间(即实有限维的赋 们关注的热点问题_4J． 范线性空间)，IJ·lI是 上的范数．用O表示 的 设 是一个线性空间．称 是 中从 到Y的一 原点，用S = {：Il II=1}和B = {：Il I1 条道路时满足 = 0)和Y= 1)，其中 0)为道 1}分别表示 的单位球面和单位球．对任意不同的 路的起点 1)为道路的终点．称集合A是道路连通 两点 ，Y∈X，用 [，Y]表示以 ，Y为端点的线段， 的满足对于集合A中V ，y，都存在A中的一条从 (，)，)表示过 ，Y两点的直线，[，)，)表示以 为起 到Y的道路．下证平分集是道路连通的． 点，过 Y点的射线． 2 主要结果 设P，q∈X，P≠q，称集合 我们首先证明Minkowski平面上平分集是道路 B(p，g)= { ∈X：ll—PIl= I} —qfl} 连通 的，然后将该结果推广到维数 d 3的 为P，q的平分集，也称B(p，q)是线段 [p，q]的平分 Minkowski空间中． 集．R．C．James给出了等腰正交的概念：设 ．Y∈X， 对 V ∈X，用 ()表示平行于(一 ，)，并且 若等式 +YlI= 一Y}l成立，则称 等腰正交 包含在 |s中的极大线段[n，b]的长度。如果不存在 于Y，记作 j_，Y． 平行于(一 ，)且包含在 s 中的线段[0，b]，我们 文献 [2]中指出：一个点 ∈8(p，g)当且仅当 令 ()=0． 引理 1to] 设 是一个Minkowski平面， ∈X， (z一 )上，巳 ，更一般地，我们有 二 二 B(一 ，)： {z：上，z} 满足 ll0对·Vr∈0【， J(当()=0 这意味着等腰正交的性质决定了Minkowski空间平 时，r∈[0，+。。))，存在唯一的一点Y∈rS(不考虑 分集的几何结构，反之亦然．文献 [3]得到的结果是 符号)，使得 上， 从一个赋范线性空间 到另一个赋范线性空间l，的 定理1 设 是一个Minkowski平面．对 Vp，q∈ 线性算子保持等腰正交的充要条件是它是一个线性 X，8(p，q)是道路连通的． 等距的倍数．所以，可利用Minkowski空间平分集的 证明 我们设 具有方向09．对 V ∈ ＼{O}， 几何性质来刻画特殊的赋范线性空间或深入的研究 以(一 ，)为界的两个开的半平面分别用 和 收稿