Moore-Smith收敛和极限定义的新方式.pdf

$ 女第34卷第2期 绥化学 院学报 2014年2月 Vo1．34 No．2 JournalofSuihuaUniversity Feb．2014 Moore—Sm．th收敛和极限定义的新方式 胡秀华 (海伦市第三中学 黑龙江海伦 152300) 摘 要：众所周知，数学分析中极限的定义，对于初学者来说掌握起来颇有困难，关于极限命题 的证明，方法较难掌握．本论文 旨在论述一种能代替数列极限中的 “”语言和函数极限中的 “”语言以 及 “”语言的一种新的定义一最终成立，通过此定义我们发现各种极限的内在的统一． 关键词：Moore-Smith收敛 ；最终成立；极限 中图分类号：O189 文献标识码：A 文章编号：2095—0438(2014)02—0158—03 一 、 引言 (1)m，n，peD并且m≥n，n≥p则有m≥p；(2) m≥m，VmeD；(3)m，neD，则 peD，使得P≥m，P 极限是分析数学中最基本的概念，用以描述 ≥n． 函数值的分布趋势。但是数列极限中的 “￡一N”语 定义 1．2从有向D集到集合A的映射fsn； 言和函数极限中的 “￡一8”语言以及 “8一A”语言复 neD，≥l叫做一个定义在D上取值于A上的网．我 杂难懂，因而我们很有必要对于极限的定义进行 们称网{S．；neD，≥l最终在A内当且仅当存在meD 思考．本文 旨在论述一种能够代替数列极限中的 使得n≥m时S,,eA．我们称网{Sn；nED，≥l在拓扑空 “ 8一N”语言和函数极限中的 “￡一8”语言以及 间()，【)中收敛于s，是指它最终在 s的每个邻域 “ 8一A”语言的定义：“最终成立”，通过此定义我们 内。 发现各种极限的内在的统一的联系。 上面的定义虽然认识到了收敛的本质，但是 上面谈及的 “最终成立”的来源 ，是 1922年 却不适合初学数学分析的学生掌握。一般关于网 数学家Moore和Smith提出的一般情况下收敛的 收敛的知识，需要在研究生阶段才能接触．因此， 概念．通过定义 “有向集”和 “网”来定义收敛 ，包括 本文试图通过把抽象的网收敛拿到具体的极限 了分析中几乎所有的收敛。 中去，引入最终成立之定义，不但能使得极限概 定义 1．1一个集合D是有向的，是指集合 念理解起来更加容易，使得具备初等数学知识的 上面的序关系 “≥”满足： 学习者能够方便明白的掌握。不但如此，我们发 收稿 日期：2013—11—03 作者简介：胡秀华(1966一)，女，黑龙江海伦人，海伦市第三中学一级教师。 158 现，在某些问题的证明过程中，也有独到的作用。 imf 成立)，我们就称作函数 f(x)的极限是A，i~ l — (x)=A，或者称作函数 x(x)收敛于A。 二、用 “最终成立定义各种极限 很显然 ，这一定义是传统定义的等价形式。 在 U ( 中，有向集 (U (，≥)中，X。x2是指 在文献[5】中，试探性给出了数列极限的最终 Ix一xol≤Ix2-xo1．但