Orlicz-Sobolev空间的Lipschitz连续函数逼近.pdf

第15卷第3期 螳用次凼分析竽于 艮 Vbl ．15 ．NO．3 2013年9月 ACTAANALYSI S FUNCTI ONALI S APPLI CATA Sep ．，20 13 DOI ：10．3724 ／SP ．J ．1160 ．20 13 ．00250 文章编号 ：1009—132 7( 2013) 03- 02 50- 03 O l i cz - Sobol ev空间的Li ps chi t z 连续函数逼近 刘春芳，，v ，付永强z ，罗跃生s ，张石磊a 1．东北林业大学理学院数学系，哈尔滨150040 2．哈尔滨工业大学理学院，哈尔滨15000 1 3．哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨15000 1 4．哈尔滨工程大学理学院，哈尔滨15000 1 摘要：对O l i cz —Sob ol ev 空间的性质进行了深入的研究，O l i cz —Sob ol ev 函数可用在开集外为零的 Li psch i t z 连续函数来逼近，对解决微分方程 问题起 了很重要 的作用． 关键词 ：O l i cz —Sobol ev 空间；零边界值 ；Li ps chi t z连续函数 中图分类号： 024 1．82 文献标志码：A 1预备知识 设( X，d) 为一度量空间，p为x上的有限Bo el 测度．我们称肛为doubl i ng 的，如果p( B( z ，2 ) ) ≤ Cp( B( z ， ) ) ，这里z ∈X，且 0，常数C0称为doubl i ng常数．如果肛为doubl i ng 的，有 p( B( z，7 ’) ) ≥C7P，这里n=l 092 C≥0，C7为仅依赖于C及x 的直径的常量． 定义1 【3 】称函数g ：x一[ 0，+。。] 是p可测的，定义 D(u) = {9 ：I u( x) 一乱( 可) I ≤d(x ，可) ( 9( z ) +9( 可) ) ) 对Vx，Y∈X＼F) z ≠Y，且p ( F) =0． 定义2[ 3】O l i c z—Sobol e v空间为： W1LM( X) ={u ：X—R，钍是p可测的，且D( u) ≠垂) ． 定义313] 函数M( u) 称为是凸的，是指M( 业2) ≤．M( u) T2M(y) ．． 定义4 【4 】集合E c X，O l i cz—Sobol ev空间的M一容度定义为 CM( E) =。 3函 ) 【＼ 厶 M( 札 ) 毗 +厶 M( 乳 ) d肛 ／) 其中A( E) ={札 ∈W1LM( X) ：u ≥1在 目拘邻域上) ． 定义5 【4】称 函数乱：x_ 【- 00 ，+∞] 在x上是M一拟连续的，若对比0，存在E C X，使 得CM( E) E，并且把u 限制在x ＼E上是连续的． 引 理 1f4j 设 M( u) 满 足 16≤ 黜 ≤ g∞ ， 如 果 札 ∈W1LM( X) ， 那 么 对 垤 0， 存 在 一 个 Li ps chi t z 连续函数h ，使得 ． 1．p( {z ：u( x) ≠h(z ) ) ) E； 2 ．I I u—hl l w，LM( x) E． 2主要结果 O l i cz—Sobol ev 函数用Li ps chi t z连续函数来代替，度量空间x 中一种 自然的方法就是用 L( E) ={ “∈W1LM( X) ：u是x 中的Li p schi t z连续函数，] t u=o在x ＼EdF}， 收稿 日期：20