第5章 短期个别风险模型.ppt

第2章 短期个别风险模型 第一节 引言 （4）n是固定的，即模型是封闭的。 以上假设是对实际情况的简化和理想化。 第二节 个别保单的理赔分布 分布函数为 易得： 对随机变量的矩，有一些与条件期望相联系的一般公式： 在我们的模型中， ，就有： 记 则可计算得： 第三节 独立和分布的卷积 讨论了个别保单的理赔分布后，就要 考虑 的分布，先介绍卷积法。 1.两项卷积 由概率知识知，对独立的离散型随机变量有：  例1：设X服从[0，2]区间上的均匀分布，Y与X独立，服从[0，3]上的均匀分布，求S=X+Y的分布函数。 2.多项卷积 例2 设随机变量 相互独立，且试求和 的概率分布？ 例3 设X1，X2与X3是相互独立的三份保单的个别理赔额随机变量，它们分别具有如下的概率分布列： 解 可求出S的卷积分布，如下表所示： =0.1125+0.1925+0.2450+0.2500 +0.1375+0.0575 =0.995 ∴选E。 注 注意到本题是S的最大值为6，所以事件（S≤5）的逆事件等价于事件（ S≥6 ），也等于事件（ S=6 ）而： P（S=6）=p1（x=1）·p2（x=2）·p3（x=3） =0.1×0.2×0.25 =0.005 ∴P（S≤5）=1-0.005=0.995 此种思路就是显得充满智慧。 第四节 求理赔分布的矩母函数法 矩母函数的性质： 的分布函数由矩母函数 唯一确定 2.记 的k阶原点矩为 ，则有 3.若 为相互独立的随机变量， 则 的矩母函数为： 4.若 为常数，则随机变量Y 的矩母函数为： 几个常见分布的矩母函数: 3.负二项分布： 几何分布： 5.正态分布 8.平移伽马分布 定理：设 为相互独立的随机变 量， 服从参数为 的泊松分布，则 服从参数为 的泊 松分布。 第五节 和分布的近似 中心极限定理：假设 为独立同 分布的随机变量， 则当n→∞时，有： 例2 一个保险人承保了具有如下特性的风险组合： 1）每个风险索赔发生的概率为0.10； 2）索赔发生时有如下的损失密度函数： 解 理赔总额可用个别风险模型来描述： 依题意有： ∴ ∴n=145.04 ∴选D。 * * 设 ， 其中S表示n张保单的 理赔总量， 表示第i张保单可能发生的 理赔额，并且该模型满足如下假定： 短期个别风险模型: （1） 独立； （2）每张保单最多发生一次理赔； （3）保单组合中的风险都为同质风险，即 具有相 同的分布； 假设（1）是应用大数法则的前提，但 它不包括如水灾和传染病保险等等；假设 （2）在某些寿险和非寿险问题中具有一 些代表性，但对汽车保险、健康保险等则 不一定；假设（3）（4）也是为数学上处 理方便而设的，但可以把它们看作是研究 实际问题的基础。 首先考虑一年期的寿险，当被保险人 在一年内死亡，保险人将赔付b元，否则 不发生赔付。记一年内发生赔付的概率为 q，那么理赔随机变量的概率函数为： 指示变量I：I=1表示给定事件发生，I=0表示给定事件不发生。则 ，其中常数b为死亡发生时的赔付额，而I在死亡发生时取1，其它取0。于是从而 例1 考虑意外死亡险，若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为10万元；若属非意外死亡，赔付5万元；若不发生死亡则不赔。根据被保险人的年龄、健康情况和职业，设发生意外死亡和非意外死亡的概率分别为0.0005和0.002。试讨论第i张保单理赔的概率分布。 例2 设有某汽车车辆险保单，赔付规则设定免赔额为250美圆，最高赔付额为200