模型08：方程模型.ppt

主讲人：孙云龙 数学建模课件 主讲人：孙云龙 数学建模课件 数学建模 第八讲 方程模型 数学实验 与 方程模型 代数方程 一元方程 方程组 微分方程 n阶 初值问题 …… 一、 Matlab求解：方程 l01.m solve (f) solve (f, x) solve (f,g,…, x,y,…) fsolve (f, x0) fzero(f, x0) 其他 多项式 代数方程组 roots (f) 1、代数方程 符号解 数值解 符号 字符串 字符串 系数向量 Ax=b x=A\b rref([A b]) null(A,’r’) linsolve(A,b) 例： 2、微分方程 符号解 通解 注：导数 特解 初始条件 例： Dy D2y Dny y=dsolve(f) y=dsolve(f ,’x’) [y1,y2,…]=dsolve(f , g ,…,’x’) 字符串 y=dsolve(‘…’,’y(x0)=y0’,’…’) l02.m 缺省？ 定量 定性 符号解 数值解 稳定性 ········ 微分方程 数值解 ode: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb… 例： [T,Y] = solver(f,[x0,x1],y0) l03.m fun3.m ode函数：句柄函数或inline函数 二、简单物理模型 室温：20 C 物体：100 C?20 min?60 C 问： ? min?30 C 关键 温度变化规律 冷却定律：物体的冷却速度 与物体和环境的温差成正比 例1：物体温度变化 模型 物体温度 冷却速度 冷却定律 初值 求解 冷却系数 于是 l04.m 例2：下滑时间 链条无摩擦下滑 1米 5米 问：需多少时间链条才能全部划过桌子 关键 位移变化规律 运动方程： 牛顿第二定律 模型 建立坐标系 1米 5米 O 令链条终点位置： t 时刻 受力 重力 线密度 质量?加速度 则 模型 解 答案 l04.m 二、人口模型 问题提出：人口预测 例如： 1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53‰ 预测2000年末：12.5×(1+0.00953)2 ≈ 12.7394 2000年11月1日全国总人口为126583万人 预测2004年末： 12.5×(1+0.00953)6 ≈ 13.2320 2005年1月6日，中国人口总数达到13亿 2008年底，中国人口总数13.2802亿 设　基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r 　则　人口增长模型为 xk=x0 (1 +r)k 模型一：指数增长模型 基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。 设 t 时刻人口数为x(t) ， t=0时 人口增长率为r，则 　　　 ?取△t→0， 有 初值问题 Malthus （ 1766-1834）人口模型 于是：指数增长模型 求解 符号演算 Matlab 模型解 离散化 er ≈1+r (r1) 则有 x(t) ≈ x0 (1 +r)t l05.m 模型二：阻滞增长模型 模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数 　　　　　　　r(x)=r-sx ，（s、r0 ） 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量）为 xm r(xm)=0 ?有 ? 模型为 Logistic模型 于是：阻滞增长模型 求解? Logistic模型 l05.m 图示 阻滞 指数 阻滞 指数 求解? l05.m 参数估计 统计方法——最小二乘法 ——参数 r 或 r, xm 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 模型三：人口的预测与控制 问题提出 指数模型, 阻滞模型 考虑年龄结构 模型假设 设: 人口分布函数 F(r,t) : 时刻,年龄小于 r 的人口数 人口总数 N(t)