-优化方案课件：生活中优化问题举例(人教A选修-).ppt

失误防范 (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长度、宽度应大于零,销售价格应为正数等等. (2)得出函数的最大值或最小值之后,一定要将数学问题还原成实际问题. 知能演练?轻松闯关 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 栏目导引 新知初探?思维启动 典题例证?技法归纳 知能演练?轻松闯关 第一章　导数及其应用 1.4　生活中的优化问题举例 第一章　导数及其应用 学习导航 学习目标 重点难点　 重点:运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题. 难点:由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式. 新知初探?思维启动 1.优化问题 生活中经常遇到求___________、_________、________等问题,这些问题通常称为优化问题. 利润最大 用料最省 效率最高 2.解决优化问题的基本思路 函数 导数 典题例证?技法归纳 题型一　面积、容积的最值问题 (本题满分12分)用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？ 题型探究 例1 【思路点拨】　设出所截正方形的边长为x,则该容器的底面边长和高均可用x表示,得到容积关于x的函数,用导数法求解. 【解】　设容器的高为x cm,容器的体积为V(x)cm3. 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0x24).3分 V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)(0x24).5分 令V′(x)＝0,得x1＝10, x2＝36(舍去). 当0x10时,V′(x)0, V(x)是增函数;6分 当10x24时,V′(x)0,V(x)是减函数.7分 因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x＝10时取得最大值,其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3).10分 故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19600 cm3.12分 【名师点评】　解决有关面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 题型二　费用(用材)最省问题 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小？ 例2 【名师点评】　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 例3 (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 由上表可得,x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 所以,当x＝4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【名师点评】　解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有: (1)利润＝收入－成本; (2)利润＝每件产品的利润×销售件数. 变式训练 备选例题 某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大？ 解:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t), 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3), ∴当t＝2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大. 又当0≤x2时,g′(x)0;当2x≤3时,g′(x)0, ∴当x＝2时,g(x)取得最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大. 方法技巧 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数