2012高中数学 第2章2.2.1第二课时讲稿 新人教B版必修5.ppt

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2012高中数学 第2章2.2.1第二课时讲稿 新人教B版必修5

* 2.2 等差数列? 2.2.1 等差数列 第二课时 课堂互动讲练 知能优化训练 第二课时 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1.等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_____,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式: _______________. 公差 an=a1+(n-1)d 知新益能 an,an+2 充要 思考感悟? 1.两个数a,b的等差中项唯一吗? 提示:唯一. 2.等差数列的性质 (1)若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),则am+an=_______. (2)下标成等差数列的项(ak,ak+m,ak+2m,…)仍组成_________ . (3)数列{λan+b},(λ,b为常数)仍为_________. (4){an}和{bn}均为_________ ,则{an±bn}也是等差数列. (5){an}的公差为d,则d0?{an}为_____数列;d0?{an}为_____数列;d=0?{an}为___数列. ap+aq 等差数列 等差数列 等差数列 递增 递减 常 (n-m)d 首末两项的和 思考感悟? 2.若am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q吗? 提示:不一定.例如在等差数列an=2中,m,n,p,q可以取任意正整数,不一定有m+n=p+q.  3.等差数列的设法 (1)通项法:设数列的通项公式,即设an=a1+(n-1)d(n∈N+). (2)对称设法:当等差数列{an }的项数n为奇数时,可设中间的一项为a,再以公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数n为偶数时,可设中间两项分别为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…. 课堂互动讲练 等差数列性质的应用 考点突破 例1 【分析】 解答本题既可以用等差数列的性质,也可以用等差数列的通项公式. 等差数列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,求a5+a8.  【解】 法一:根据题意设此数列首项为a1,公差为d,则: a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=36, ∴4a1+22d=36,2a1+11d=18, ∴a5+a8=2a1+11d=18. 法二:由等差数列性质得: a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18. 【点评】 法一设出了a1、d,但并没有求出a1、d,事实上也求不出来,这种“设而不求”的方法在数学中常用,它体现了整体的思想.法二运用了等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p, q∈N+),则am+an=ap+aq. 自我挑战1 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75. (1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 【分析】 由题目可获取以下主要信息: ①根据三个数的和为6,成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d(d为公差); 巧设等差数列 例2 ②四个数成递增等差数列,且中间两数的和已知,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差,建立基本量的方程组求解. 【解】 (1)法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d, 则这三个数分别为a-d,a,a+d, 依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24, 所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24. 化简得d2=16,于是d=±4, 故三个数为-2,2,6或6,2,-2. 法二:设首项为a,公差为d,这三个数分别为 a,a+d,a+2d, 依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24, 所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24, 得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, 即d2=16,于是d=±4,所以三个数为-2,2,6或6,2,-2. (2)法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二:若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 【点评】 利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地有如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-

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