Chapter02.1数列极限演示稿.ppt

Chap2 极限与连续 古希腊Archimede—“穷竭法”； 中国魏晋时代刘徽—“割圆术”； Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。 Chap2 ― 1 数列极限 三、收敛数列的性质 一个公式 * * 一、数列 定义1 函数 f : N?R称为数列，记为{xn}. 即{xn＝f (n)}, n?N,或x1, x2,…xn,… ① xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。 ② 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取 例1 讨论数列的单调性和有界性 （n重根号） 二、数列极限定义 定义2 设有数列{xn}. 若存在常数A，使得??0, ?N?N, 当nN时，|xn?A|?，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛 于A，记为 若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛) ?是用来刻划xn与A的接近程度。首先，?具有任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，?具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个?再去找N。 ② N的存在性说明无论?怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xn?A|?，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。 ③ 通常N具有依赖性，即N＝N(?)，但不具有唯一性。 ④ 几何意义 注 给定?来找N似乎是解不等式 ，由于N虽然 依赖于?，但不唯一，因此只需要找一个N使得n N成为 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”. 适当放大法： 例7 设数列{xn}对常数A和0 q 1满足条件 证明 例8 设 定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即 定理 2（有界性）收敛数列必有界。即如果{xn}收敛，则?M0, 使得?n?N有 推论1 无界数列必发散。 推论2 若数列 定理3 （不等式性）若 即使将“xn ? yn”换为“xn yn”, 结论也不能改为“A B”. 推论4 若 推论3 （保号性）若 若将“A0”换为“A0”, 则结论改为 定理4（夹逼性）设数列{xn}, {yn}, {zn}满足条件 例10. 设 求f (x)的表达式. 四、数列极限的运算 定义3 若 ，则称数列 为无穷小（量）。 有限个无穷小量之和仍为无穷小； 无穷小乘有界量仍为无穷小； 有限个无穷小之积仍为无穷小 例11 证明 {xn}为无穷小的充要条件是{|xn|}为无穷小. 定理4（极限与无穷小关系） 数列{xn}收敛 ? ?A?R及无穷小量?n使xn＝A + ?n. 定理5 若 例12 求极限 思考 定义4 对数列 , 若 则称数列 为无穷大（量），记为 无穷小，无穷大和无界的关系 (A) 无穷小. (B) 无穷大. (C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大. Stolz定理 设{yn}严格增加，且 . 若 则有 (A可为??). 在 存在的前提下有公式 例如 xn=(?1)n，yn = n, 则 ，但 A＝?时，结论未必成立！如xn=(?1)n?1n，yn = n, 则 但 无极限. 推论1 若 , 则有 推论2 若an 0, 且 , 则有 推论3 若an 0, 且 , 则有 例14 求极限 Ex. 求极限 五、数列收敛准则 1单调有界定理 设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立 若{xn}为单调数列. 则{xn}收敛 ? {xn}有界. 想一想 数列{xn}单调减少时的情形？ (n重根号), 例15 设 例17 证明数列 e=2.7182818284…是自然对数的底(lnx = logex), 是无理数. 证明 存在并求之.