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1847年，德国数学家Kummer证明了对n100(除出37,59,67), Fermat定理成立。 1983年，德国数学家法尔廷斯证明了：对每个n2, 方程只有有限个解。 1993年，Princeton大学的教授威尔斯宣布证明了Fermat定理。但数学家发现了证明中的一个漏洞。经过九个月的努力 威尔斯修正了这一错误，这标志着Fermat大定理被彻底征服。 威尔斯的证明完全采用了全新的路线，用到了现代数学的许多分支：椭圆曲线论，模形式论，伽罗华表示论等。 所谓椭圆曲线是如下形式的曲线： 椭圆曲线与模形式之间有紧密的联系。50年代，日本数学家谷山丰和志村五郎猜测：有理数域上的每条椭圆曲线都存在模形式。被乘为“谷山-志村”猜想。 60年代，有人将Femat 方程与椭圆曲线联系起来。1984年，佛赖证明，如果Fermat大定理不成，则由Fermat方程确定的椭圆曲线不可能是模形式，这与谷山- 志村猜想矛盾！因此，要证明Fermat大定理，只需证明谷山-志村猜想。威尔斯所做的正是证明了该猜想。 完全数 所谓完全数是指它的所有因子(除去它本身 ) 之和等于该完全数. 例如, 6是一个完全数. 因为1+2+3=6. 下一个完全数是28. 请读者找出10000以内的所有完全数, 并对它做素因子分解. 你能据此猜测完全数的通式吗? 完全数与Mersenne素数有何联系? 你能由此找到更多的完全数吗? 是否存在奇完全数? 完全数是否有无穷多个? 除6以外, 完全数都有一个奇妙的特性, 就是每个完全数可以表为几个连续的奇数之立方和. 如28=1^3+2^3. 请你对你找出的完全数验证此特性. 完全数的另一个特性是它的因子的倒数和为1。如 1/2+1/3+1/6=1。 完全数二进制形式为：11…100…0 孪生素数 间隔为2的相邻素数，如3与5，5与7。关于孪生素数的猜想是：孪生素数有无穷多个。 1919年，挪威数学家布隆考虑孪生素数的倒数和： 如果上述数列发散，则孪生素数有无穷多个。遗憾的是，上述数列收敛，其和为B=1. 用p(x)表示不超过x的孪生素数的个数。英国数学家Hardy与Littlewood猜测 其中 迄今为止，孪生素数猜想还没有证明。目前最好的结果是我国数学家陈景润于1966年获得：存在无穷多个素数p, 使p+2是不超过两个素数的乘积。截止1999年发现的最大孪生素数是 青一色数的素性 由n个1组成的数11...1叫做青一色数. 当n为何值时, 青一色数是素数? 如果青一色数是合数, 如何将它做素因子分解? 很显然，如果n为合数，则清一色数为合数。目前只得到n=2,19,23,317,1031时，清一色数为素数。 Bertrand贝特兰德猜测 当n3时, n与2n-2之间至少存在一个素数. 1852年，俄国数学家切比雪夫证明该猜想。 进一步，对怎样大的d0, n与(1+d)n之间必然有素数呢？1893年法国数学家凯恩证明，对任意d0,只要n足够大，上述结论成立。 继Bertrand贝特兰德猜想之后，1882年奥波曼提出新的猜想：在n^2和n(n+1)之间必有素数。但现在还没有获得证明。目前的最好结果是：n^2与n^2+n^k之间有素数。这里k12/11. 相关的Mathematica函数 FactorInteger[n] Mod[m,n] PrimeQ[n] Prime[n] ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{x_n,y_n}}] PlotJoined-True Table * 后人验证出F_n (n=19)均为合数。因此有人猜测F_n(n4)都是合数。 Fermat数F_n与正多边形做图有紧密的联系. 古代数学家认为，当n为大于6的素数时，正n边形不能用圆规与直尺做出。但是，在1796年，19岁的德国数学家Gauss找到了用直尺与圆规做正17边形的方法。这一辉煌的成果轰动了整个数学界。 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了正257边形与正65537边形的做图法！ 关于Fermat数主要研究的问题是： （1）如何分解Fermat数？ （2）Fermat素数是否只有有限个？ （3）Fermat合数是否有无穷多个？ （4）Fermat数有没有平方因子？ Euler素数生成公式 Euler曾研究过公式：f(n)=n^2+n+41. 可以验证，当n=0,1,…,39时，f(n)都是 素数，但f(