极限理论演示稿.ppt

十二、等价无穷小量替换 例23 设函数 在区间 上连续,计算极限 例24 设a , b , A 为不为零的常数,证明 的充分必要条件是 例25 计算极限 十三、利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限 例26 计算极限 例27 设 ,求 十四、利用级数的定义或性质求极限 例28 证明: 例29 求极限 十五、利用函数导数的定义求极限 例30 设 ,求极限 十六、递推关系法 例31 设 ,考察极限 例32 设数列 满足条件: 求 十七、利用不动点定理 例33(压缩数列)设数列 满足条件: ,有 则称数列 为压缩数列.证明:压缩数列必收敛. 例34 设 ,证明收敛,并求极限. 十八、公式法 例35 计算下列极限: 例36 证明:若 ,且 则 第一章 极限理论 Ⅰ、基本概念 一、数列极限 1.数列 收敛与发散的定义 数列 收敛 有 数列 发散 有 2.数列 的极限 的定义,有如下等价形式: ⑴ 语言 之外至多只有 中的有限项. ⑵邻域形式 ⑶子列形式 的任意子列 都收敛于 3.数列有上、下界,有界,无上、下界,无界的定义 数列 有上界(下界,有界) 数列 无上界(下界,无界) 4.集合E的上、下确界定义 5.数列 的上、下极限的定义 ⑴用确界定义: 若极限 存在,则称其 为数列 的上极限,记为 若极限 存在,则称其为数列 的下极限,记为 ⑵用聚点定义: 数列 的最大聚点称为 的上极限, 最小聚点称为 的下极限. ⑶用收敛子列的极限定义: 数列 的所有收敛子列中的最大极限值称为 的上 极限; 数列 的所有收敛子列中的最小极限值称为 的下极限. 二、函数极限 函数极限按自变量 x 的趋向来区分,有六种类型,即 三、无穷小量与无穷大量 极限为0的量称为无穷小量(在某一变化过程中); 有非正常极限的量称为无穷大量(在某一变化过程中). Ⅱ 、基本理论 一、收敛数列的性质 1.收敛数列的极限是唯一的; 2.收敛数列是有界数列; 3.收敛数列具有保号性与保不等式性; 4.收敛数列的四则运算. 二、函数极限的性质 1.函数极限是唯一的; 2.局部有界性; 3.局部保号性与局部保不等式性; 4.函数极限的四则运算. 三、函数极限与数列极限的联系(归结原理) 四、柯西准则 1.数列的柯西收敛准则 2.函数极限的柯西准则 五、迫敛性 1. 数列收敛的迫敛性定理 如果数列 与 都收敛于a,又 有 ,则数列 也收敛于a. 2. 函数极限的迫敛性定理 如果在某 内,有 ,且 则 六、单调有界原理 单调有界数列必收敛. 1.单调增加有上界的数列必收敛,并且数列的极限值不 小于该数列的任意项. 2.单调减少有下界的数列必收敛,并且数列的极限值不 大于该数列的任意项. 3.设数列 单调,则 七、斯笃兹(Stolz)定理 1.设 是严格递增的正无穷大数列,它与数列 一起满足: ,则 2.设数列 ,且数列 严格单调递减, 若 ,则 八、斯笃兹定理的推广 1.设 为常数,如果定义在 上的函数 则 满足:(1)函数 在 的任何有限区间上有界,