江苏专转本高数 第二节 数列极限.ppt

函数与极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第二节 数列的极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结 思考题 * 单击任意点开始观察 1.【割圆术】 观察完毕 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 【引例】 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2.【截丈问题】 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 公元前300年左右，中国古代思想家墨子语： 【例如】 【注意】 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 单击任意点开始观察 观察结束 【问题1】 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 【问题2】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。 通过上面演示实验的观察: 【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限. “距离任意 小” 【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.【精确定义】 设{xn}为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数ε(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n N 时，不等式 | xn -a |ε都成立,那么就称 a是数列{xn} 的极限,或者称数列{xn} 收敛于a, 记为 或 任意、给定二重性： 只有任意（小）才能刻划出 xn “无限接近于a ”，而只有给定才能找到相应的N. （但不是函数关系，因N不唯一） 【注意】 （5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化 的量(用常量研究变量)。 3.【几何解释】 等价解释 2.【 ε—N 定义】 Any表任意(给) Exist表存在或至少有一个 【思考】认为“当nN时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε)内”是等价解释，正确吗？ 数列极限的定义未给出求极限的方法. 【例1】 【证】 所以, 【注意】 【例2】 【证】 【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式） 所以, 【例3】 【证】 【小结】 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. —公式 【补例4】 【证】 放大不等式 1.【唯一性】 【定理1】每个收敛的数列只有一个极限. 【证】 ［注意以下证明都是已知极限存在时，利用ε的给定性来论证的］ 用反证法 【例5】 【证】 由定义, 区间长度为1. 矛盾 【证完】 2.【有界性】 【例如】 有界 无界 不可能同时位于长度为1的区间内. (2)【定理2】收敛的数列必定有界. 【证】 由定义, 【注意】 ①逆否命题必成立：无界列必定发散. ②逆命题不成立；有界列不一定收敛. ③数列有界是收敛的必要条件. 3.【保号性】 【定理3 】 【证明】 由数列极限定义， 有 从而 【证完】 【推论】 【证明】 以下用反证法 由定理3知 【证完】 4.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系） 【注意】 ［例如］ （1）【定义】 （2）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛． 且极限相同． 【证】 【分析】 欲证 【证毕】 （寻找到K） 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. * *