第一章 张量代数课件.ppt

1.8 仿射量 或 张量与矩阵相对应 第一章 张量代数 1.1 指标记法与约定求和 1 指标记法 自由指标：在方程中的各项中只出现一次的指标称为自由指标 哑指标：某一指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，该指标称哑指标 Einstin求和约定：凡重复一次的指标，则表示对所有同类从1到N求和，N为空间维数。 无特殊说明，本书总取i=3,N表示空间维数 2 约定求和 把下面的式子写成约定求和的形式. 1 2 1.2 克罗内克（Kronecker）符号 性质： 定义： 亦即： 1 当i=j时 0 当i j时 请把下面的式子化简 1.3 置换符号 1 当i，j，k为123偶次置换时 -1 当i，j，k为123奇次置换时 0 当i，j，k不为123的排列时 定义： 性质： 证明： 可以得证 证明： 因为 =3 证明：利用性质（2），将m换成j,可得到： 证明：利用性质（3），将l换成i,可得到： 1.4 指标记法的计算 1 代 入 ? 2 乘 积 3 因式分解 4 缩 并 使两个指标相等并对它们求和的运算成为缩并。 解： 将式子 变成约定求和的形式 5 矢量的点积 基本矢量： x y z 从几何的角度看： 结果与上述相符 例: 求解 基本矢量： x y z 6 矢量的叉积 根据右手定则得： 证明 ： 例：求解 1.5 张量的定义 标量：在选定的测量单位下，只用一个不依赖于坐标系的数字表征其性质的量。 例如：数学上的无名数、物理学上的质量、密度、温度等。 三阶张量 二阶张量 一阶张量（矢量） 零阶张量 张量的定义： 矢量：在选定的测量单位下，用不依赖于坐标系的数字和方向表征其性质的量。 例如：数学上的有向线段、物理学中的力、速度、加速度等。 标量、矢量？？？ 不变性的记法（又叫抽象记法）： 1 2 并矢记法： 3 分量的记法： 零阶张量 一阶张量 二阶张量 三阶张量 张量的记法： P点在两直角坐标系 、 中 新 旧 是新坐标基矢量与旧坐标基矢量夹角的方向余弦 坐标变换 变换矩阵 应力矢量 在坐标 中，有： 应力张量 在坐标 中，有： 1.6 张量代数运算 1 张量的加减法 同阶张量可以相加减 2 张量的并积 1)阶数不同的张量可以并积 2)并积是有顺序的。 3 张量的缩并 中的i、k缩并。 对式子 推广 若A和B分别为m阶和n阶张量，则它们的并积为： 其中： 4 张量的点积 点积一次，结果张量降低二阶 若 和 分别为两个矢量，则它们的点积定义为： 5 双点积 6 叉积 最简单的情况是两个矢量a和b的叉积，即： 三个矢量a，b和c的叉积为： 证明： 设 再令： 即： 两个张量叉乘一次所得张量的阶数比原两张量阶数和少一阶。 三个矢量a，b，c的混合积定义为： 它表示棱边为a，b，c的棱柱体的有向体积 例： 7 二阶张量的迹 二阶张量T 张量T的迹可以写成： 二阶张量的迹具有下列一些性质： 设A和B为二个二阶张量，则： 证明: C其分量为： 同样设： 设 证明: 上列两式分别为张量A的二阶矩和n阶矩 1.7 商法则 已知 若 是张量 是张量 若 是张量 是张量 ？ 商法则 在任一卡氏直角坐标系中，若 是任意p 阶张量，它与q指标量 连并为： 其中 是一个q-p阶张量，则 必为q阶张量。 结论：任何一个张量都可以分解为一个对称张量和一个反对称张量 这一项为反对称张量 这一项为对称张量 定义： 对称张量 反对称张量