第一章 函数、极限与连续课件.ppt

返 回 1、是着重讨论分段函数的分界点的连续性. 返 回 2、奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶 函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇 函数. 返 回 3、首先是因为自变量的变化过程多；其次是因为函数式 复杂. 返 回 4、互为倒数. 返 回 * * 第一章　函 数 、 极 限 与 连 接 （一） 　本 章 内 容 小 结 （二）　 常见问题分类及解法 （三） 　思 考 题 （四）　 课 堂 练 习 (一)　本章内容小结 一、本章的主要内容 　　函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数 与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运 算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷 小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间 上连续函数的性质。 二、几个常用的基本极限 三、几个充要条件 表 1-1 有倒数关系 续表 六、本章关键词 函数 极限 连续 结 论 条 件 (二) 常见问题分类及解法 一、求函数的定义域 ①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； 例1 求下列函数的定义域： 解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不 等式组。 (1)若使函数有意义，必须 (2)若使函数有意义，必须 解 二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因 此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要 判断函数表达式是否统一即可。 例3 判断下列各对函数是否相同？ 利用定义域和对应法则来判断。 解 三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利 用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函 数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积 是奇函数。 例4 判断下列函数的奇偶性： 解 (1) 用定义判断 (2) 用性质判断 四、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。 例5 求下列数列极限： 解 2、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 极限的方法。 对通项式有理化得 解 3、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和，再求极限。 解 4、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项 放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。 解 例9 求下列极限： 解 五、函数极限的求法 函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变 量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首 先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法. 一般地，函数极限有以下几种求法： 解 例11 已知 解 解 解 ⑤ 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无 穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。 例14 求下列函数的极限： 解 (2) 利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。 六、判断函数连续性 利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连 续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义 域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。 解 解 (三) 思考题 1、讨论分段函数连续性的关键是什么？ 2、奇、偶函数有何性质？ 3、函数的极限比数列的极限复杂，为什么？ 4、无穷小与无穷大是什么关系？ 答 案 答 案 答 案 答 案 （四）课堂练习题 答 案 答 案 答 案 答 案