第一章 函数与极限习题课 (一)课件.ppt

第一章 函数与极限习题课 (一) 数列与函数的极限 * * 几何解释: 一、数列极限 1．数列极限的定义 2．数列极限的运算法则 3．数列极限的主要性质 4．数列极限的存在准则 二、函数的极限 1．函数极限的定义 2．函数的左右极限 左极限: 右极限: 3．函数极限收敛的充要条件 4．函数极限的运算法则 5．函数极限的主要性质 （3）夹逼准则：若 则 三、无穷小与无穷大 1．无穷小的基本概念 （1）无穷小的定义 （2）无穷小阶的比较 2．无穷小的主要性质 四、两个重要极限 1. 2. 则 或 五、解题方法及典型例题 1．数列极限解题 方法流程图 求 可找到数列 和 满足 应用夹逼准则 验证 单调有界 应用单调 有界准则 恒等变形 应用极限的四则 运算法则求极限 判别 的形式 为分式 应用等价无穷小代换 应用极限的四则 运算法则求极限 恒等变形 求 判别 的形式 为无穷小,且 为未定式 或 为复合函数 应用连续函数的极限运算准则 应用重要极限 函数极限解题 方法流程图 2．典型例题 【例1】计算 分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。 解： 【例2】计算 解： 分析 对形如 的极限，分子、分母可同除以 中x的最高次，再利用 可求得最终结果。 解： 如果改为： 结果如何？ 思考 【例3】计算 分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成 的形式。 解法2： 解法1: 因为 ， 所以 是 时的无穷小， 而 为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知 【例4】计算 注意：下面的计算是错误的。 因为 所以 因为 ，故 并不存在， 所以不能应用极限存在准则。 解： 【例 5】*计算 分析 本题含 ，当 与(－0)时，有不同的结果， 需要用左右极限求之。 解： 【例 6】计算 而 由夹逼准则得 分析 本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看， 可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。 【例 7】设 （1）证明 存在 （2）计算 解：(1) 由于 所以 又 有下界 即 在 时单调下降 进而证明了数列的有界性。 由单调有界数列必有极限知 解：(2) 设 则有 （因 ，故舍去负值） 注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。 所以 解法1： 【例 8】 计算 解法2： 型未定式的极限, 分析 这是 解决方法是利用重要极限。 或利用变量替换法。 分析 分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。 解： 【例 9】 计算 解： 分子有理化 极限非零部分可先提出 【例 10】 计算 分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母 有理化变形，可求出极限。