第一章 函数、极限与连续(专升本第二轮复习)课件.ppt

习题课 第一章 函数、极限与连续 考察两个函数是不是相同的函数 1.定义域要相同 2.对应法则要相同 3、函数极限的性质 7.归纳：求极限的常用方法 1.初等函数代入法求极限 2.消去零因子法求极限 （约分法、共轭法（分母有理化） ） 3.无穷小因子分出法求极限 4.利用无穷小的性质求极限 5.利用两个重要极限 6.利用等价无穷小因子的替换 7.利用极限的两个重要准则 8.利用左右极限求分段函数极限 9.罗必达法则 8.曲线的水平与垂直渐近线 零点定理（根的存在性定理） 4.间断点的类型： 第一类间断点: 第二类间断点: 左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点. 包括可去和跳跃间断点. 左右极限中至少有一个不存在的间断点称为 第二 类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 第一类间断点: 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等的间断点。 可去间断点：左右极限都存在且相等的间断点。 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 通俗定义 设函数 f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）,如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称A为函数 f(x) 当x→x0时的极限， 记为 如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限 如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极 限， 右极限 左极限 2.单侧极限 函数的极限与左、右极限有如下关系： 2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 说明： 1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。 定理(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的． 定理(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限 存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该 邻域内有界． 定理(保号性) 4、极限运算法则 （1）判定极限存在的准则 (夹逼准则) 5.极限存在的准则及两个重要极限 (1) （2）两个重要极限 (2) 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 6、无穷小与无穷大 (4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. (3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小. (2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. (1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 定理 在自变量的同一变化过程中 无穷小的运算性质 定义: 无穷小的比较 几个重要的等价无穷小： 当 时， 定理(等价无穷小替换定理) 等价无穷小的性质 不能滥用等价无穷小替换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 说明：下列几个极限不存在 例1 解 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 例3 解 分母有理化，分子有理化 解 例5 (消去零因子法) 例6 解 (无穷小因子分出法) 例7 解 先变形再求极限. 例8 解 左右极限存在且相等, 例9 解 例10 解 例11 解 例12 解 例13：当 时， 是等价无穷小，求 例14 若 求 例15 若 求 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 1、连续的定义 可见 , 函数 在点 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义 , 存在 ; 定义2: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 设函数 且 2.单侧连续 定理 3、间断点的定义 * （一）函数 （二）极限 （三）连续 函 数 的定义 反函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性 1、函数的定义 一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和对应法则称为函数的两个要素。 求函数的定义域　 在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有