第一节数列极限新.ppt

1. 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 五、数列极限存在的条件 例 证 例：设 (n=1,2,…)， 证 由 及 知 设对某正整数k有 则有 故由归纳法，对一切正整数n，都有 即 为单调减少数列，且 试证数列 极限存在，并求此极限。 解得 所以 例2 证 (舍去) 例 证 数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往 用单调有界准则。 1)有界性的证明一般有如下几种方法： 根据已知条件推断出界； 通过观察找出界，并用归纳法证明； 先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明 2) 单调性的证明 一般有如下几种方法： 用观察法. 如：单增情况 ）。 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用 归纳法证明. 注意 2. 夹逼准则 证 上两式同时成立, 例 解 由夹逼定理 例：求 解： 由夹逼定理 ＞ ＜ 夹挤定理 例： 例：求 证： 因此，由迫敛性定理 例：求证 证： 又 而 ∴得证。 数列 收敛的充要条件是：对任给的 ，存在正整数 ，使得当 时有 柯西收敛准则： 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性； 小结 三个准则 夹挤准则; 单调有界准则 ，柯西收敛准则. * 例如 1、数列的定义 第一节 数列的极限 一、数列的极限的概念 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点: 数列是整标函数 数列的几何意义. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 S=? 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” n=19 n=32 n=42 n=50 3、数列的极限 问题: 1) 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述? 2) “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 随着n的增加，1/n会越来越小。 可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度 只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。 引入符号N和?来刻化无限增大和无限接近。 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法，可以用定义来证明极限的存在。 例1 证 例3 证 注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由??0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小). 例5 证 例7 证 1.唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 二、 收敛数列的性质 2.有界性 例如, 有界； 无界。 数列xn有上界,即存在M, 使xn≤M(n=1,2,…)。 数列xn有下界,即存在m,使xn ≥m(n=1,2,…)。 定理 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 有界性是数列收敛的必要条件. 发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散. 例: 证 定理3(收敛数列的保号性) 若 且 (或 ), 则存在正整数 当 时, 都有 (或 ). 证 只证 的情形. 按定义, 对 正整 数 当 时, 有 证毕. 推论 若数列 从某项起有 (或 且 则 (或 定理(收敛数列的保号性) 若 且 (或 ), 则存在正整数 当 时, 都有 (或 ). 定理(收敛数列的保号性) 若 且 (或 ), 则对任何数 当 时, 都有 (或 ). 则存在正整数 (或 ), 三、数列极限的四则运算法则 定理 若 , 则 （k为常数） 注: 以上法则仅适合有限项数列的极限运算. 三、数列极限的四则运算法则 定理 若 , 则 （k为常数） 注: 以上法则仅适合有限项数列的极限运算. 三、数列极限的四则运算法则 定理 若 , 则 （k为常数） 注: 以上法则仅适合有限项数列的极限运算. 四、子