第二章数列极限2-3 数列极限存在条件.ppt

数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 §3 数列极限存在的条件 单调有界定理 柯西收敛准则 复习思考题 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 一、单调有界定理 二、柯西收敛准则 学过数列极限概念后，自然会产生两个问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限理论中占有非常重要的地位. §3 数列极限存在的条件 数学分析 第一章 实数集与函数 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理2.9 单调有界定理 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由上确界的定义，对于任意的 使 存在 ( ) 存在 后退 前进 目录 退出 单调有界定理 由确界定理， 例1 设 求 解 这就证明了 单调有界定理 由此得到 有上界 2 , 由极限的不等式性, 知道 , 所以 下面再来证明此数列有上界. 于是由 可得 单调有界定理 例2 下面的叙述错在哪儿？ 因为显然有 从而得出 单调有界定理 单调有界定理 单调有界定理 单调有界定理 *例3 证 证明: 单调有界定理 单调有界定理 单调有界定理 例4 证 单调有界定理 单调有界定理 例5 任何数列都存在单调子列. 单调有界定理 单调有界定理 定理2.10（致密性定理） 任何有界数列必有收敛子列. 单调有界定理 定理2.11 柯西收敛准则 数列 收敛的充要条件是: 柯西准则的充要条件可用另一 满足上述条件的数列称为柯西列. 柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 ) 柯西收敛准则 对任意 都有 种形式表达为： 柯西收敛准则 由此推得 柯西收敛准则 例7 证明 证 柯西收敛准则 由柯西收敛准则的否定陈述, 可知 发散. 发散. 证明 例6 证 取 使得 柯西收敛准则 例8 证 柯西收敛准则 论上特别有用, 注 柯西收敛准则的意义在于: 项本身的特征来判断该数列是否收敛, 赖于极限定义中的那个极限值 A. 可以根据数列通 而不必依 这一特点在理 大家将会逐渐体会到它的重要性. 柯西收敛准则 2. 试给出{ an }不是柯西列的正面陈述. 1. 对于数列是否收敛的各种判别法加以总结. 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 §3 数列极限存在的条件 单调有界定理 柯西收敛准则 复习思考题 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社