第二章数列极限2-2 收敛数列性质.ppt

例4 证 根据极限的保不等式性, 有 对于任意 于 是可得 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例5 证 根据极限的保号性, N, 当 nN 时, 有 所以由极限的迫 敛性, 证得 存在 又因为 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例6 解 所以由极限四则 运算法则, 故得 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 得 定义1 注 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例7 为 m 个正数, 证明 证 由 以及极限的迫敛性, §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 与 得 定理2.8 注 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例8 证 (必要性) §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例9 解 因此, §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？ 2.仿效例题5的证法,证明： 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 复习思考题 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 一、唯一性 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质,然后学习怎样运用这些性质. §2 收敛数列的性质 数学分析 第二章 数列极限 二、有界性 六、极限的四则运算 五、迫敛性（夹逼原理） 四、保不等式性 三、保号性 七、一些例子 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理2.2 唯一性 若 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 下面证明对于任何 定数 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 ? 0, §2 收敛数列的性质 后退 前进 目录 退出 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 当 n N 时 (1), (2)同时成立, 从而有 §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 定理2.3 有界性 即存在 证 若令 则对一切 正整数 n , 都有 若数列 注 数列 是有界的, 但却不收敛. 这就说明 有界只是数列收敛的必要条件, 而不是充分条件. 对于正数 §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 有 定理2.4 保号性 对于任意两个实数 b, c , 证 注 我们可取 这也是称该定理为保号性定理的原因. 存在 N, 当 n N 时, §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 例1 证明 证 对任意正数 ? , 所以由 这就证明了 定理 2.4, §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 定理2.5 保不等式性 均为收敛数列, 证 所以 §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 如果存在正数 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然 §2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 定理2.6 迫敛性 (夹逼原理) 设数列 都以 a 为极限, 这就证得： 证 对任意正数 满足: 则 所以分 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 例2 求数列 的极限. 所以由迫敛性，得 又因 解 有 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 定理2.7 四则运算法则 则 (1) 当 为常数 c 时, (3) 也都是收敛数列, 且有 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 所以 的任意性, 得到 证明 (1) §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 的任意性, 证得 于是 证明 (2) 对于任意 §2 收敛数列的性质 迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子 证明 (3) 由(