第二章数列极限2-1 数列极限概念.ppt

数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 §1 数列极限的概念 数列的定义 一个经典 的例子 收敛数列的定义 按定义验证极限 再论 “? - N ”定义 一些例子 复习思考题 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 一、数列的定义 数列极限是整个数学分析最重要的基础之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识. §1 数列极限的概念 数学分析 第二章 数列极限 二、一个经典的例子 六、一些例子 五、再论 “? - N ”定义 四、按定义验证极限 三、收敛数列的定义 *点击以上标题可直接前往对应内容 为数列. 则称 若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 或简记为 {an}. 这里 an 所以我们也将数列写成 称为数列 {an} 的通项. 数列的定义 因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 后退 前进 目录 退出 数列的定义 一个经典的例子 无限制地进行下去. 我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出： 第一天截下 第二天截下 第n天截下 这样就得到一个数列: 古代哲学家庄周所著的《庄子 · 天下篇》引用了一句 话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以 它的意思是: 一个经典 的例子 随着 n 的无限增大而无限趋于 0 . 定义1 收敛数列的定义 为一个数列, a 为一个常数, 的正数 则称数列 收敛于a , 又称 a 为数列 的极限. 一般地说,对于数列 , 若当 n 无限增大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 收敛于 a . 若对于任意 总存在正整数 N, 使当 n N 时, 记作 收敛数列的定义 若 不收敛, 则称 为发散数列. 注 定义1 这种陈述方式，通常称为 “? - N ”定义. 收敛数列的定义 按定义验证极限 以说明. 例1 用定义验证: 分析 对于任意正数 要使 只要 证 对于任意? 0 , 所以 为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加 有 按定义验证极限 例2 用定义验证 分析 对于任意的正数 ?, 只要 所以 证 要使 即可. 按定义验证极限 只要 即可. 例3 用定义验证 分析 故要使 成立, 注意 解这个不等式是在 的条件下进行的. 按定义验证极限 证 对于任意的正数 ? , 即 按定义验证极限 取 所以 例4 用定义验证 因此证得 证 这里只验证 的情形（ 时自证）. 故对于任意正数 有 按定义验证极限 再论 “? - N ”定义 从定义及上面的例题我们可以看出: 1. ? 的任意性: 定义中的 ? 用来刻画数列 {an} 的通 项与定数 a 的接近程度. 与 a 接近的程度愈高； 与 a 可以任意接近. 它暂时看作是确定不变的. 显然正数 ? 愈小,表示 a n ? 是任意的, 这就表示 an 要注意，? 一旦给出，在接下来计算 N 的过程中, 再论 “? - N ”定义 可以用 ( K 为某一正常数 ) 来代替. 定义 1, 均可看作任意正数, 再有, 我们还可以限定 ? 小于某一个正数 ? 1 ). 此外，又因 ? 是任意正数, 所以 故定义 1 中的不等式 ( 比如 事实上, 对 0 ? 1 若能验证 { an } 满足 那么对 ? ? 1 自然也可以验证成立. 再论 “? - N ”定义 则当 n N1 = 2N 时, 对于同样的 ? , ? 惟一确定. 求 N 的 “ 最佳性 ” . 也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追 2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 不同, N 当然也会不同. 随着 ? 的取值 但这并不意味着 N 是由 例如, 当 n N 时, 有 更应有 再论 “? - N ”定义 3. 极限的几何意义 示当 n N 时, 从几何上看, ,实际上就是 时有 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内， 而在 之外, { an } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数? , 落在 之外至 多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表 以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是: 再论 “? - N ”定义 定义2 { an } 的有限多