第二节 数列极限1-2.ppt

第一章 第二节 第二节 数列的极限 教学内容 1 数列的定义 2 数列极限的定义 3 数列极限的性质 教学重点 数列极限的性质 本节考研要求 1 理解数列极限的概念，并用其证明简单极限问题； 2 了解数列极限的性质。 一、问题的提出与概念的引入 二、数列(series)的定义 “当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够大， |xn-a |就能有多小． 小结 在应用数列极限的定义求证极限的一般步骤： 4 收敛数列的保号性 五、小结 * a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） “…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…” 2、割圆术：三国时期的数学家刘徽在《九章算术》注中讲到 播放 ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 在解决问题的过程中，我们都用到一个极重要的方法， 就是为了得到确定的量，把它视为一个变量的变化趋势 ------这就是极限的方法。 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是特殊的函数，整标函数 三、数列的极限(limit) 例如 如果数列没有极限，就说数列是发散的． 而{2n}，{ (-1)n+1}，是发散的． 1. 数列的极限的通俗定义： 对于数列{xn}，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛a ．记为 对无限接近的刻划： 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 几何解释: 注意： 3 数列极限是数列变化的最终趋势，任意改变 数列中的有限项不影响它的极限值。 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 说明: 常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 条件放大 这样的限定对极限有影响吗？ 例4 证 例5 证 例题４，５可以做为结论性的东西在今后直接应用 共有n-2个1 1 极限的唯一性 定理1 如果数列收敛，那么它的极限唯一. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 四 收敛数列的性质 2、有界性 例如, 有界 无界 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 3 收敛数列的有界性 5、子数列的收敛性 注意： 例如， 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 这是证明数列发散时，常采用的方法 *