第二节 极限概念课件.ppt

第一章 1、数列 引例2： （1）数列的定义 数列对应着数轴上一个点列， （2） 数列的性质 2） 单调性 2、数列极限的定义 定义 例如： 若数列 为具体的说明 由 例如, 例1. 已知 3、收敛数列的性质 定理五. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 例3. 证明 两种特殊情况 : 例如： 2、自变量趋于有限值时函数的极限 定义2 . 设函数 例4. 证明 例5、 例6、 例7、 2). 左极限与右极限 左极限 : 例8. 设函数 3、函数极限的性质 定理3（函数极限的局部保号性） 定理4: 定理5（函数极限与数列极限的关系） 即 及 则有 定理一. 收敛数列的极限惟一. 若 定理二. 收敛数列一定有界. 即: 若 则有 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 数列 收敛数列必有界. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 定理四: 若数列 从某项起 定理三、（ 收敛数列的保号性） 则 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 第一章 二 函数极限 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 2、自变量趋于有限值时函数的极限 3、函数极限的性质 设有函数 自变量的变化过程可以有六种形式: 函数极限的定义 从函数的观点看， 的函数 它有极限A, 也可以这样叙述： 时， 相应的函数 则称当 时，函数 有极限。 这种定义数列极限的思维方法也适合 于一般的函数 。由于 的自变量 变化方式的 不同， 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。 数列是下标变量 若在自变量 定义1 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 A 为函数 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 （单边极限） 不存在 1). 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 证明 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 证明 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 证明: 当 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 例如： 列表看趋势 在 的定义中 的方式是任意的 它可以从 的左边 趋向于 也可以从 的右边 趋向于 均使 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 因为 显然 所以 不存在 . 解: 例9 求 例8. 设函数 且 存在,求 a . 解: 时，有 。 那么存在常数 和 ，使得当 定理2（函数极限的局部有界性）如果 ， 定理1（函数极限的唯一性）如果 存在， 那么这极限唯一。 证明：因为 所以取 则 当 时，有 记 定理得证 若 且 A 0 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 )， 使当 时，有 分析基础 函数 极限 连续 — 研究的对象 — 研究的方法 — 研究的桥梁 函数与极限 学习要求 二　极限与连续 极限理论是高等数学的基石，函数的连续性、导数、定积分等重要概念都是在它的基础上建立起来的，它是研究导数、积分、级数等不可缺少的工具． 本章要求：理解极限概念；了解极限的两个存在准则；熟练掌握极限的四则运算法则；掌握两个重要极限；理解无穷小量，掌握无穷小量的比较；理解无穷大量及其与无穷小量的关系；理解极限与无穷小量的关系；理解函数连续性的概念；会求函数的间断点；熟练掌握连续函数的性质； 本章重点：极限的概念及其运算；连续的概念与初等函数的连续性． 难点：极限的概念． 第一章 一、数列极限 第二节 极限概念 二、函数极限 极限概念是高等数学中最基本的概念，这个概念贯穿着整个数学分析，并在