第六讲 极限存在准则 重要极限课件.ppt

第一章 函数与极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 例7 求 小结 思考与练习 第一章 函数与极限 第七节 无穷小的比较 一、无穷小的比较 定义. 例1. 证明: 当 定理1. 定理2 . 设 说明: (3) 因式代替规则: 例3. 求 小结 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 时, ～ 证: ～ 例2 解 ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 且 存在 , 则 证: 例如, 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 ? = o(?) , (2) 和差代替规则: 例如, 例如, 界, 则 例如, ? 例1. 求 解: 原式 * * * * 第六节 极限存在准则 两个重要极限 1.夹逼准则 证 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 说明: 条件(1)可改为从某项开始之后有 注意: 准则 I 和准则 I称为夹逼准则. 例1 解 由夹逼定理得 解 例2 由夹逼定理得 解 例3 由夹逼定理 解 例4 夹逼定理 例5 解 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例6 证 (舍去) 例7 解 证 例8 (1) 例6 解 解: 例8. 求 解: 令 则 因此 原式 推广 x ? a 时, ? (x) =3( x ? a ) ? 0 , 求 故 (2) 先证 类似地, e 称为欧拉常数. 综上所述, 得到以下公式 推广 推广 例9 解 例10 解 例11 解 例12 解 例13 解 其中, k≠ 0 为常数. 1.两个准则 2.两个重要极限 夹逼准则; 单调有界准则 .