第讲数列极限().ppt

第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 第二章 极限与连续 称为一个数列, 记为{ xn }. 1. 定义 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项 一、数列及其简单性质 数列也称为序列 2. 数列的表示法 在数轴或直角坐标系上表示 介绍几个数列 xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 例1 (1) 数列的单调性 单调增加 不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说. 3. 数列的性质 数列的有界性的定义 如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？ 想想： (2) 数列的有界性 例2 观察例1 中的几个数列： 的图上看, 从数列 x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) ) * ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? 量化表示：n ? ? 时, xn ? a . 预先任意给定一个正数 ? 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 N(0, ? ) 中. （在 N(0, ? ) 外面只有有限项） 若{ xn }当 n ? ? 时没有极限, 则称{ xn }发散. 若 时, 使当 记为 或 此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到它的极限值. 数列极限的定义： 由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n ? ?. 通过目标不等式来寻找 N 0 , N = N(?). 不等式 称为目标不等式. 例5 证 故取 则 n N 时, 由极限的定义, 得 例6 证 成立. 由极限的定义可知: 放大不等式法 1. 2. 3. 几个结论 4。 5。 例10 证 1.唯一性定理 若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一. 想想, 如何证明它？ 三、数列极限的性质 设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有： 证 运用反证法 任意性 常数 由 ? 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . 唯一性定理的推论 的任何一个子数列都收敛, 且均以 a 为极限 . 充分必要条件 应用：若两个子列的极限不相同，或者有一个子列发散，则数列发散。 例11 解 取子数列： 例12 解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列: 2.有界性定理 若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界. 证 设 则由极限定义, 取 时, 即有 则 由数列有界的定义得：数列{ xn }收敛, 则必有界. 该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, { (－1) n }. 例13 发散的数列不一定都无界 . 例如, { (－1) n } . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. 有界性定理的推论： 3.保号性定理 证 由绝对值不等式的知识, 立即得 a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 . 保号性定理的推论1： 这里为严格不等号时 此处仍是不严格不等号 由保号性定理, 运用反证法证明 保号性定理的推论2： 在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也 要改为不严格不等号. 一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 单调性 有界性 若 时, 使当 记为 或 唯一性、有界性、保号性