第讲数列极限.ppt

作业 习题1-2（教材21页） 1(1); 2(3); 4; 5; 6; 7; 8. 作业 习题1-2（教材21页） 1(1); 2(3); 4; 5; 6; 7; 8. 教授：你家兄弟几个？ 研究生：我是独生子。 教授：你如果学理论数学，那以后谁来养你父母？ 例12 解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列: 2.有界性定理 若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界. 证 设 则由极限定义, 取 时, 即有 则 由数列有界的定义得：数列{ xn }收敛, 则必有界. 该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, { (－1) n }. 有界性定理的推论： 即 无界数列的极限不存在 . 无界数列必发散. 例13 发散的数列不一定都无界 . 例如, { (－1) n } . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. 3.保号性定理 证 由绝对值不等式的知识, 立即得 a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 . 保号性定理的推论1： 这里为严格不等号时 此处仍是不严格不等号 由保号性定理, 运用反证法证明 保号性定理的推论2： 在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也 要改为不严格不等号. 例2 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 观察例1 中的几个数列： 0 1 –1 x x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的. 若 xn ? M , M?R , 则称 { xn} 有上界. 若 xn ? m , m?R， 则称 { xn} 有下界. { xn}: 有界 ?? 既有上界 又有下界. 一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界). 现在来讨论如何定义数列的无有界性： 首先看有界性定义的关键所在 对所有的 例3 证 分析 数列极限的直观定义 例如 二、数列的极限 可以看出， 当 n 无限增大时， 无限接近 1 0 1 x “ 1” 是它的极限. 无限增大 无限接近 越来越大, 即 0 0 1 例4 一般地, 如果数列{xn} 当 n ? ? 时, 列{xn} 当 n ? ? 时以 a 为极限, 记为 xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 此时, 也称数列是收敛的. 数列极限的直观定义—定性描述 极限描述的是变量的变化趋势. 讨论数列 当 无限增大时的变化趋势. 容易看出: 当 无限增大时, x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) ) * ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? “ n 无限增大” 记为 n ? ?. 此时称数列 当 n ? ? 时以零为 极限, 记为： 这就是该数列的变化趋势 的图上看, 从数列 x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) ) * ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? 量化表示：n ? ? 时, xn ? a . 预先任意给定一个正数 ? 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 U(0, ? ) 中. （在 U(0, ? ) 外面只有有限项） 0 10 ) 1 ( e - - n n 其中, 是描述点 xn 与点 0 无限接近的 度量标准, 它