线性代数吴赣昌第一章.ppt

线性代数; 第一章 行列式;定义2: 对于 个不同的元素,先规定各元素之间有 一个标准次序,这 个元素的任一排列中,当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就 说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫 做这个排列的逆序数，排列 的逆 序数记为 。;逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的 排列为偶排列。;1、 二阶行列式的定义 ;3、 阶行列式的定义;记作 ，简记为 ，称 为行列式 的元素。 ;1、对角行列式 ;2、三角形行列式;第三节 行列式的性质;性质1： 行列式与它的转置行列式相等。;性质3： 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一个数 ，等于用数 乘此行列式。 ;性质4：;性质5： 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一个数后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变。 ;例1： 计算 ;例3： 设 ， ， ，证明： 。;第四节 行列式的按行（列）展开;引理： 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，则这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积。;这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用 这个法则可将高阶行列式降为低阶行列式来进行 行列式的计算。;例1：利用按行（列）展开法则计算 ;例3：设;例4： 计算 ;例4： 计算 ;例5： 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式;第五节 克拉默法则;对于含有 个未知数 的 个线性方 程组成的方程组 (1) ;定理1： 如果线性方程组 (1) 的系数行列式不等 于零,即 那么,方程组(1) 有唯一解 ;这个定理被称为克拉默法则，这个定理也可叙述为： 如果线性方程组（1）的系数行列式 ，则 （1）一定有解，且解是唯一的。 ;例1： 解线性方程组 ;当线性方程组（1）中的 不全为零时， 称方程组(1)为非齐次线性方程组，当 全为零时，称方程组（1）为齐次线性方程组。 ;除了零解外，齐次方程组（2）在什么条件下还有 其它解呢？;例2：问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解。