经济数学-两个重要极限演示稿.ppt

函数与极限 一、夹逼准则 四、小结 例19 解 三、单利与复利 利息是指借款者向货款者支付的报酬, 它是根据本 金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利 单利计算公式 设初始本金为 (元), 银行年利率为 则第一年末本利和为 则第二年末本利和为 第 年末的本利和为 息、 债款利息、贴现利息等 货款利息、 几种主要形式. 复利计算公式 设初始本金为 (元), 银行年利率为 则第一年末本利和 则第二年末本利和 本金 利息 若 年末的本利和为 四、多次付息 现在来讨论每年多次付息的情况. 单利付息情况 因每次的利息都不计入本金, 故若 一年分 次付息, 则年末的本利和为 即年末的本利和与支付利息的次数无关. 复利付息情况 因每次支付的利息都记入本金, 故 年末的本利和支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为 (元), 年利率为 息, 则一年末的本利和为 若一年分 次付 易见本利和是随 的增大而增加的. 本利和为 而 年末的 五、连续复利 设初始本金为 (元), 年利率为 按复利付息, 一年分 次付息, 则第 年末的本利和为 若 利用二项展开式, 有 因而 即一年计算 次复利的本利 复利的本利和要大, 且复利计算次数愈频繁, 计算 和比一年计算一次 复利的本利和要大, 且复利计算次数愈频繁, 计算 所得的本利和数额就愈大, 但是也不会无限增大, 因为 所以, 本金为 按名义年利率 不断计算复利, 则 年后的本利和 注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有 应用 如细胞分裂、树木增长等问题. 例20 一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为 试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续 复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本 利和 解 按单利计算 (元). 按复利计算 (元). 按每年计算复利4次计算 (元). 按连续复利计算 (元). 思考题 求极限 思考题解答 1.两个准则 2.两个重要极限 夹逼准则; 单调有界准则 . 思考题 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率. 解 若用“〇”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图： 〇 △ △ △ △ △ △ 〇 △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 去年12月 1 今年 1 月 1 2 月 2 3 月 3 4 月 5 5 月 8 6 月 13 从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此 规律可写出数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为 且此数列有递推关系： 第n月的兔子对数的增长率 存在的证明及求法如下： 证 经 济 数 学 一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 四、连续复利 极限存在准则 两个重要极限 第五节 三、两个重要极限 连续复利 证 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意: 准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则. 例1 解 由夹逼定理得 例 2 求 解 由 易见对任意自然数 有 故 而 所以 例 2 求 解 而 所以 例 3 解 求 设 显然 , 又 由夹逼准则知 即 例 4 解 求 由 易见 又 所以 例 5 求极限 解 因为 故由准则 I, 故 得 二、单调有界准则 如果数列 满足条件 单调增加 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 例如, 单调增加数列: 单调减少数列: 几何解释: 例 6 证 设有数列 求 显然 是单调递增的. 下面利用数学归纳法证明 有界. 因为 假定 则 所以 是有界的. 从而 存在. 由递推关系 得 即 故 解得 (舍去). 所以 1.作为准则Ⅰ′的应用，下面证明一个重要的极限 三、两个重要极限 例 7 解 求 例 8 解 求 例 9 解 求 原式 例10 求 解: 令 则 因此 原式 例 10 解 下列运算过程是否正确: 这种运算是错误的. 当 时, 本题 所以不能应用上述方法进行计算. 例 11 下列运算过程是否正确: 正确的作法如下. 令 则 当 时, 于是 例 12 解 计算 定义 2、准则Ⅱ的应用，可以证明